問題
空間に1辺の長さ1の立方体があり，図のように頂点が原点に，が軸の正の部分に，が軸の正の部分に置かれている．
いま，この立方体を軸のまわりに回転させるとき
(1) 平面において，立方体の辺が通過する部分をとする．図形を表す方程式を求めよ．
(2) 平面において，立方体の面が通過する部分を図示せよ．
出典：大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
立方体の3本の互いに垂直な辺ベクトルを座標で復元する。 は 軸方向の単位ベクトルで、 が 軸上にあることから、 と は 平面内の互いに垂直な単位ベクトルで、和が 軸方向になるように取れる。回転では 座標と 軸からの距離が保たれるので、辺 と面 をパラメータ表示し、 平面に現れる点の条件へ変換する。
解答
立方体の面 と が平行で、対応する辺が であると見る。、 とおける。さらに は 軸の正の部分にある。 と は互いに垂直な単位ベクトルで、どちらも に垂直であるから 平面内にある。また が 軸上にある。したがって、向きを選び直して
とできる。このとき である。
(1)
辺 上の点は、 として と表される。立方体を 軸のまわりに回転しても、点の 座標と 軸からの距離は変わらない。したがって、この点が回転して 平面に来たとき、座標を とすれば である。よって を得る。これが辺 の通過する部分 を表す。
(2)
面 上の点は、、 として と表される。回転後に 平面に来た点 については である。ここで だから であり、また より である。
したがって、面 が 平面で通過する部分は で表される。図示すると、直線 、 と双曲線 の上下2枝に挟まれた、 軸に関して対称な部分である。ただし の範囲は である。