問題
，，，を，を満たす定められた整数とする．
赤玉，白玉個ずつ計個の玉を3つに分けて，袋1，袋2，袋3にそれぞれ，，個入れてある．このとき袋の中の赤玉の個数を とおく．
いま，これら3つの袋から無作為に1つの袋を選び，その袋の中から1個の玉を無作為に取り出す．このとき取り出される玉が赤玉である確率をとする．
(1) を， を用いて表せ．
(2) ，，を ，の範囲で変化させるとき，を最大にする，，を求めよ．またそのときのの値はいくらか．
方針
(1) は袋を選ぶ確率 と、その袋から赤玉を引く条件付き確率 を掛けて足す。(2) では が に関する線形な式であり、係数が の順に大きいことを使う。赤玉が大きい袋に残っていて小さい袋に空きがあるなら、1個移すと が増えるので、袋1、袋2、袋3の順に詰めるのが最大である。残りの赤玉が袋2に収まるかどうかで場合分けする。
解答
(1)
袋 が選ばれる確率はそれぞれ である。袋 が選ばれたとき、その袋から赤玉が取り出される確率は である。したがって である。
(2)
条件 より である。したがって、同じ赤玉1個を入れるなら、番号の小さい袋に入れるほど は大きくなる。
これを交換で確認する。もし 、、 なら、袋 から赤玉を1個減らし、袋 に1個増やすことができる。このとき は保たれ、 の増加量は である。よって最大のときには、袋1から順に可能な限り赤玉が入っていなければならない。
まず袋1には最大まで入れるので である。残りの赤玉は 個である。 、すなわち のとき、残りは袋2にすべて入る。したがって である。このとき であり、 を用いると となる。 、すなわち のとき、袋2にも最大まで入れ、残りを袋3に入れる。したがって である。このとき であり、同じく より である。