大阪大学 1990年度理系数学第2問解答・解説

問題

無限級数 $n = 1 \sum \infty n \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos 2 n x cos x d x$ は収束することを示し，その和を求めよ．

出典：大阪大学 1990年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

積和公式で $cos 2 n x cos x$ を2つの余弦の和に分け、積分を明示的に求める。得られる第 $n$ 項は $(- 1)^{n - 1}$ を含む有理式で、部分分数分解すると隣り合う項が消える形になる。部分和 $S_{N}$ を端の項だけで表し、その極限を取ることで、収束と和を同時に示す。

解答

積和公式より $cos 2 n x cos x = \frac{1}{2} {cos (2 n - 1) x + cos (2 n + 1) x}$ である。したがって

\int_{0}^{π /2} cos 2 n x cos x d x = \frac{1}{2} [\frac{sin ( 2 n - 1 ) x}{2 n - 1} + \frac{sin ( 2 n + 1 ) x}{2 n + 1}]_{0}^{π /2} = \frac{1}{2} {\frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{2 n - 1} + \frac{( - 1 ) ^{n}}{2 n + 1}} = \frac{( - 1 ) ^{n - 1}}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}

である。

よって級数の第 $n$ 項は $n \int_{0}^{π /2} cos 2 n x cos x d x = \frac{( - 1 ) ^{n - 1} n}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )}$ である。ここで $\frac{n}{( 2 n - 1 ) ( 2 n + 1 )} = \frac{1}{4} (\frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n + 1})$ だから、第 $N$ 部分和を $S_{N}$ とすると

S_{N} = \frac{1}{4} n = 1 \sum N (- 1)^{n - 1} (\frac{1}{2 n - 1} + \frac{1}{2 n + 1})

である。実際に並べると $S_{N} = \frac{1}{4} {1 + \frac{( - 1 ) ^{N - 1}}{2 N + 1}}$ となる。中間の $1/3, 1/5, \dots, 1/ (2 N - 1)$ の項は符号が反対の隣の項と打ち消し合うためである。

したがって $lim_{N \to \infty} S_{N} = \frac{1}{4}$ である。よって与えられた無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{4}$ である。

大阪大学 1990年度理系数学 第2問

問題

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解答

大阪大学 1990年度
理系数学第2問