問題
点を通り，曲線に接する直線が軸以外にただ1本存在するようなの値をすべて求めよ．
出典：大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
接点の 座標を とし、接線が点 を通る条件を作る。 は常に 軸を与えるので、問題が数える「 軸以外」の接線から除く。残りは2次方程式 の解に対応するので、判別式が0の場合と、判別式が正で一方の解が になる場合を分けて、非 軸接線がちょうど1本になる を求める。
解答
とおく。接点の 座標を とすると、接線が点 を通る条件は である。ここで なので
となる。 と は、いずれも接線 を与える。これは問題で除く 軸である。したがって、 軸以外の接線は の実数解のうち、 のものに対応する。
この2次方程式の判別式は である。まず のとき、2次方程式は重解をもち、非 軸の接線はちょうど1本である。このとき より である。この重解は ではない。
次に のときを考える。通常は2つの異なる実数解があり、非 軸の接線が2本になる。ただし一方の解が または なら、その解は 軸を表すので除かれ、残りの1本だけになる。 が解である条件は だから である。このときもう一つの解は であり、非 軸の接線は1本である。 が解である条件は だから である。このときもう一つの解は であり、やはり非 軸の接線は1本である。 では非 軸の接線は存在しない。以上より、求める は である。