問題
(1) を整式，を2次式としとおく．このとき，関数のグラフは軸または軸に平行なある直線に関して対称であることを示せ．
(2) は整式で，関数のグラフは軸または軸に平行なある直線に関して対称であるとする．このとき，は，ある整式とある2次式を用いてと書けることを示せ．
出典：大阪大学 1990年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
(1) は2次式 を平方完成し、軸に関して対称な2点で が同じ値をとることを使う。(2) は対称軸を とおき、 に直すと になる。整式でこの等式が成り立つなら奇数次の項がすべて消えるので、 は の整式として表せる。最後に を戻して、 とすればよい。
解答
(1)
2次式を とおく。平方完成すると である。したがって、直線 に関して対称な2点では、 の値が等しい。よって の値も等しくなる。したがって のグラフは、直線 に関して対称である。特にこの直線が 軸である場合も含まれる。
(2)
グラフの対称軸を とする。ここで とおくと、対称性より任意の について である。 は整式なので と書ける。この式で を に替えて比較すると、奇数次の係数はすべて でなければならない。したがって である。
そこで整式 を と定めれば となる。 を戻すと である。したがって とすれば、 は2次式であり、 と表せる。