大阪大学 1989年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$t$ は実数とし， $x y$ 平面において曲線 $y = e^{- ∣ x ∣}$ ，2直線 $x = t$ ， $x = t + 1$ ，および $x$ 軸によって囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに回転して得られる立体の体積を $V (t)$ とする．

(1) $V (t)$ を求めよ．

(2) $V (t)$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

回転後は半径 $∣ x ∣$ の円筒殻になる。区間が軸をまたがない場合は殻積分を用い、軸をまたぐ場合は左右が同じ半径で重なるので二重に数えない。最後に片側区間の開始半径を $s ≧ 0$ として最大化する。

V (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 2 π {- t e^{t + 1} - (1 - t) e^{t}}, 2 π {1 - (1 - t) e^{t}}, 2 π {1 - (t + 2) e^{- (t + 1)}}, 2 π {(t + 1) e^{- t} - (t + 2) e^{- (t + 1)}}, t ≦ - 1, - 1 ≦ t ≦ - \frac{1}{2}, - \frac{1}{2} ≦ t ≦ 0, t ≧ 0.

例えば $t ≧ 0$ では $V = 2 π \int_{t}^{t + 1} x e^{- x} d x$ である。軸をまたぐ場合、半径は0から $max (- t, t + 1)$ までを一度だけ数える。

片側区間の内端半径を $s ≧ 0$ とすると

W (s) = 2 π \int_{s}^{s + 1} r e^{- r} d r, W^{'} (s) = 2 π e^{- s} (\frac{s + 1}{e} - s) .

よって $s = 1/ (e - 1)$ で最大となる。軸をまたぐ場合の最大値より大きいので

V_{m a x} = \frac{2 π ( e - 1 )}{e} exp (- \frac{1}{e - 1}) .

これは $t = 1/ (e - 1)$ または $t = - 1 - 1/ (e - 1)$ で実現する。