大阪大学 1989年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

$x$ の3次関数 $f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x + c$ は，次の条件を満たしているものとする．

(i) $y = f (x)$ のグラフと放物線 $y = x^{2}$ とは相異なる3点 $P (- 1, y_{1})$ ， $Q (\frac{1}{2}, y_{2})$ ， $R (x_{3}, y_{3})$ で交わる．

(ii) 直線 $P Q$ と $QR$ は直交する．

このとき， $a$ ， $b$ ， $c$ を求めよ．

出典：大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

二曲線の交点の $x$ 座標は $f (x) - x^{2} = 0$ の三根である。既知の二根 $- 1, 1/2$ と第三根 $r$ を置く。交点は放物線上にあるので弦 $P Q, QR$ の傾きが簡単に求まり、直交条件から $r$ が決まる。

第三の交点の $x$ 座標を $r$ とする。放物線上の二点を結ぶ直線の傾きより

傾き P Q = - \frac{1}{2}, 傾き QR = r + \frac{1}{2} .

二直線が直交するから

- \frac{1}{2} (r + \frac{1}{2}) = - 1,

よって $r = 3/2$ である。

f (x) - x^{2} = (x + 1) (x - \frac{1}{2}) (x - \frac{3}{2}) = x^{3} - x^{2} - \frac{5}{4} x + \frac{3}{4} .

係数を比較して

a = 0, b = - \frac{5}{4}, c = \frac{3}{4} .