過去問データベース過去問を探す

大阪大学 1989年度
後期・理系数学後期第2問

試験区分: 後期日程第2次学力試験
対象: 理系
分野: 三角関数、図形と方程式
解法: 範囲評価、場合分け、グラフの概形
難易度: 5 / 10　　計算量 4 / 10　　目安 —

問題

$D$ は $x y$ 平面上の，不等式

x^{2} + y^{2} ≦ 1, x ≧ 0, y ≧ 0

で表される領域とする．
$f (θ)$ $(0 ≦ θ < 2 π)$ を， $x$ ， $y$ の関数 $x cos θ + y sin θ$ が $D$ においてとる最大値とする．

(1) 解答用紙の表（下表）にしたがって $f (θ)$ を求めそれぞれの欄に記入せよ．

(2) $f (θ)$ のグラフの概形を，解答用紙の図（下図）中に書き込め．

出典：大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

目的関数はベクトル $(x, y)$ と $(cos θ, sin θ)$ の内積である。方向ベクトルが第1象限を向くときは単位円周上、片方が負なら対応する座標軸上、両方が負なら原点で最大になる。

解答

(1)

f (θ) = ⎩ ⎨ ⎧ 1, sin θ, 0, cos θ, 0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}, \frac{π}{2} ≦ θ ≦ π, π ≦ θ ≦ \frac{3 π}{2}, \frac{3 π}{2} ≦ θ < 2 π .

(2)

グラフは、最初が高さ1の水平線、次が $sin θ$ の減少部分、続いて横軸上、最後が $cos θ$ の増加部分である。各境界で連続につながる。