大阪大学 1989年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$k$ が5以上の整数のとき，方程式 $x + y + z = 2 k - 1$ の正整数の解について考える．
以下の文中の□および解答用紙の表（下表）の空欄に適する数または式を求め，解答用紙の指定されたところに記入せよ．

(1) $x ≦ k$ を満たす正整数の解 $(x, y, z)$ の個数は□．

(2) 条件（＊） $x ≦ k$ ， $y ≦ k + 1$ ， $z ≦ k + 2$ を満たす正整数の解 $(x, y, z)$ の個数を，解答用紙の表に示した各場合について $k$ ， $x$ を用いて求め，それぞれの欄に記入せよ．

(3) 条件（＊）を満たす正整数の解 $(x, y, z)$ の個数は□．

出典：大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は $x$ を固定して $y + z$ の正整数解を足す。(2)では固定した $x$ に対し、 $y$ の下限と上限を $z$ の上限制約から作る。切替点で場合を分け、(3)で和を取る。

解答

(1)

$x$ を固定すると $y + z = 2 k - 1 - x$ の正整数解は $2 k - 2 - x$ 個である。よって

x = 1 \sum k (2 k - 2 - x) = \frac{k ( 3 k - 5 )}{2} .

(2)

固定した $x$ に対し

max (1, k - 3 - x) ≦ y ≦ min (k + 1, 2 k - 2 - x) .

したがって解の個数は

⎩ ⎨ ⎧ x + 5, k + 1, 2 k - 2 - x, 1 ≦ x ≦ k - 4, x = k - 3, k - 2 ≦ x ≦ k .

(3)

(2)を足すと

N = x = 1 \sum k - 4 (x + 5) + (k + 1) + x = k - 2 \sum k (2 k - 2 - x) = \frac{k ^{2} + 11 k - 32}{2} .

よって求める個数は

\frac{k ^{2} + 11 k - 32}{2} .

大阪大学 1989年度後期・理系数学 後期 第4問

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