大阪大学 1989年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ は区間 $[0, 4]$ で定義され， $f (0) = 1$ ， $f (4) = 3$ ， $1 ≦ f (x) ≦ 4$ を満たす連続関数で，そのグラフは各区間 $[j, j + 1]$ $(j = 0, 1, 2, 3)$ において傾きが $- 1$ ，0，1のいずれかである直線とする．各区間 $[j, j + 1]$ における直線の傾きを $g_{j}$ とする．

(1) $g_{0} + g_{1} + g_{2} + g_{3}$ を求めよ．

(2) $j = 0 \sum 3 \int_{j}^{j + 1} {f (x) + g_{j}} d x$ の値の最大および最小を求めよ．

出典：大阪大学 1989年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

各区間の傾き $g_{j}$ は $- 1, 0, 1$ のいずれかで、端点条件から和は2になる。(2)の式は $\int_{0}^{4} f (x) d x + \sum g_{j}$ である。途中の高さが1から4に収まる傾き列を列挙し、台形面積を比較する。

解答

(1)

各区間の長さは1なので

g_{0} + g_{1} + g_{2} + g_{3} = f (4) - f (0) = 2.

(2)

求める量を $T$ とすると

T = \int_{0}^{4} f (x) d x + 2.

条件を満たす傾き列は

(0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1), (1, - 1, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 1, - 1, 1), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, - 1)

である。

最小は $(0, 0, 1, 1)$ のときで、端点値が $1, 1, 1, 2, 3$ だから $\int_{0}^{4} f = 6$ 、よって $T = 8$ である。最大は $(1, 1, 1, - 1)$ のときで、端点値が $1, 2, 3, 4, 3$ だから $\int_{0}^{4} f = 11$ 、よって $T = 13$ である。

したがって

最小値 8, 最大値 13.

大阪大学 1989年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1989年度
後期・理系数学後期第3問