問題
はで定義された微分可能な関数で，かつ，をつねに満たし，さらに曲線は次の性質をもっているという．上の点におけるの接線が軸，軸と交わる点をそれぞれ，とし，を通ってに垂直な直線が軸と交わる点をとするとき，すべての点についてが成り立つ．
(1) の満たす微分方程式を求めよ．
(2) を求めよ．
出典：大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
、接線の傾きを とおく。 なので である。接線の 切片・ 切片と、法線の 切片を座標で求め、 を で表す。比の条件から を得て、符号条件により を選ぶ。最後は を未知関数にして積分する。
解答
(1)
とおき、接線の傾きを とする。仮定より である。
接線の方程式は である。 軸との交点 は として である。したがって から までの水平距離は 、鉛直距離は なので である。 なので分母 は正である。
また 軸との交点 は として である。よって である。
次に、 を通る法線の傾きは であるから、その方程式は である。 軸との交点 は として である。したがって である。
以上より である。条件 から となり、 だから を得る。、 に戻すと である。さらに より負の平方根を選び、求める微分方程式は である。
(2)
なので とおくことができる。このとき 、 であり、(1)の微分方程式は となる。 だから で割れて、 である。積分して を得る。
条件 より だから であり、 である。したがって である。定義域は なので であり、平方して を得る。
最後に条件を確認する。 では であり、
である。また も満たす。よって求めた関数はすべての条件を満たす。