問題
軸上の正の部分に中心をもち，放物線と2点で接する円の列を次の条件(i)，(ii)を満たすように定める．
(i) の半径は1である．
(ii) のときはに外接し，の中心の座標はの中心の座標より大きい．
このとき，円の方程式を求めよ．
出典：大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
中心を 、半径を 、接点を とおく。放物線の接線と円の半径が垂直であることから と の関係 を導く。隣り合う円は中心が同じ 軸上にあり外接するので、中心間距離が半径の和に等しい。この条件を半径列の漸化式に直し、 から一般項を求める。接点条件の別解として、代入後の重解条件でも同じ関係を確認できる。
解答
円の中心を 、半径を とする。放物線 とは左右対称な2点で接するので、右側の接点を とおいてよい。ただし である。
放物線の接線の傾きは である。一方、円の中心 と接点 を結ぶ半径の傾きは である。接線と半径は垂直だから であり、 を得る。また半径の長さについて である。したがって となる。 の半径を 、中心の 座標を とすると、各円について が成り立つ。条件より の中心は の中心より上にあり、両円は外接する。中心はともに 軸上にあるから、中心間距離は であり、外接条件は である。これに を代入すると すなわち である。半径は正なので であり、 を得る。 より である。よって であり、求める円の方程式は である。
【別解による接円条件の確認】円の方程式を とおき、 を代入すると である。 とおけば すなわち となる。放物線と円が2点で接することは、正の についてこの2次方程式が重解をもつことに対応する。判別式を0とすると より である。したがって主解と同じく を得る。