大阪大学 1988年度理系数学第4問解答・解説

問題

$a$ は1より大きい実数とする．方程式 $sin a x = sin x$ の $x > 0$ における最小の解を $θ$ とおく．

(1) $θ$ を $a$ を用いて表せ．

(2) $0 ≦ x ≦ θ$ の範囲で2曲線 $y = sin a x$ ， $y = sin x$ によって囲まれた図形の面積 $S (a)$ を求めよ．

(3) $a \to \infty lim (a + 1) S (a)$ を求めよ．

出典：大阪大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

$sin a x = sin x$ を2系列 $a x = x + 2 k π$ と $a x = π - x + 2 k π$ に分け、最小正解を比較して $θ$ を決める。面積では $0 < x < θ$ における上下関係を積和公式で確認してから積分する。極限は $m = a + 1$ とおき、 $1 - cos u ≦ \frac{u ^{2}}{2}$ で余分な項が消えることをはさみうちで示す。別解として、極限部分は変数変換でも直感的に確認できる。

解答

(1)

$sin A = sin B$ より $A = B + 2 k π$ または $A = π - B + 2 k π$ である。ここで $A = a x, B = x$ とすると、解は $(a - 1) x = 2 k π$ または $(a + 1) x = (2 k + 1) π$ で与えられる。

正の解の候補のうち、前者の最小は $k = 1$ による $\frac{2 π}{a - 1}$ 、後者の最小は $k = 0$ による $\frac{π}{a + 1}$ である。 $a > 1$ のもとで $\frac{π}{a + 1} < \frac{2 π}{a - 1}$ だから、最小の正の解は $θ = \frac{π}{a + 1}$ である。

(2)

$0 < x < θ$ では $sin a x - sin x = 2 cos \frac{( a + 1 ) x}{2} sin \frac{( a - 1 ) x}{2}$ である。この範囲では

0 < \frac{( a + 1 ) x}{2} < \frac{π}{2}, 0 < \frac{( a - 1 ) x}{2} < \frac{π}{2}

なので、右辺は正である。したがって面積は $S (a) = \int_{0}^{θ} (sin a x - sin x) d x$ である。積分して

S (a) = [- \frac{cos a x}{a} + cos x]_{0}^{θ} = \frac{1 - cos a θ}{a} - (1 - cos θ) .

ここで $a θ = \frac{aπ}{a + 1} = π - \frac{π}{a + 1} = π - θ$ だから $cos a θ = - cos θ$ である。よって

S (a) = \frac{1 + cos θ}{a} - 1 + cos θ = \frac{( a + 1 ) cos θ - ( a - 1 )}{a} .

$θ = \frac{π}{a + 1}$ を代入して $S (a) = \frac{( a + 1 ) c o s \frac{π}{a + 1} - ( a - 1 )}{a}$ を得る。

(3)

$m = a + 1$ とおくと $m \to \infty$ 、 $a = m - 1$ であり、(2)の結果から

(a + 1) S (a) = \frac{m}{m - 1} {2 - m (1 - cos \frac{π}{m})}

となる。 $u ≧ 0$ に対して $0 ≦ 1 - cos u ≦ \frac{u ^{2}}{2}$ であるから $0 ≦ m (1 - cos \frac{π}{m}) ≦ \frac{π ^{2}}{2 m} \to 0$ である。また $\frac{m}{m - 1} \to 1$ なので $lim_{a \to \infty} (a + 1) S (a) = 2$ である。

【極限部分の別解】 $u = (a + 1) x$ とおくと、 $0 ≦ u ≦ π$ で

(a + 1) S (a) = \int_{0}^{π} (sin \frac{a}{a + 1} u - sin \frac{u}{a + 1}) d u

と書ける。各 $u$ で $sin \frac{a}{a + 1} u \to sin u$ 、 $sin \frac{u}{a + 1} \to 0$ であり、被積分関数は絶対値が2以下に抑えられる。したがって極限は $\int_{0}^{π} sin u d u = 2$ で、同じ結論を得る。

大阪大学 1988年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1988年度
理系数学第4問