大阪大学 1988年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ は正の整数とする． $n$ 次式 $x^{n}$ を2次式 $f (x) = x^{2} - a x + b$ で割った余りを $r_{n} x + s_{n}$ とおく．

(1) すべての正の整数 $m$ ， $n$ について次の式が成り立つことを示せ．

r_{m + n} = r_{m} s_{n} + r_{n} s_{m} + a r_{m} r_{n}, s_{m + n} = s_{m} s_{n} - b r_{m} r_{n}

(2) $(a - x)^{n}$ を $f (x)$ で割った余りを $t_{n} x + u_{n}$ とおくとき，次の式が成り立つことを示せ．

t_{n} = - r_{n}, u_{n} = a r_{n} + s_{n}

出典：大阪大学 1988年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

$f (x)$ で割った余りだけを扱うため、計算の場では $x^{2} \equiv a x - b$ とみなす。(1)は $x^{m}$ と $x^{n}$ の余りを掛け、出てきた $x^{2}$ を一次式に戻して係数を比較する。(2)は $f (a - x) = f (x)$ という対称性を使い、既知の合同式に $x \mapsto a - x$ を代入して余りを読み取る。

解答

(1)

$f (x) = x^{2} - a x + b$ で割った余りを考えるときは、差が $f (x)$ の倍数であることを $x^{2} \equiv a x - b (mod f (x))$ と表せる。定義より $x^{m} \equiv r_{m} x + s_{m}, x^{n} \equiv r_{n} x + s_{n} (mod f (x))$ である。両式を掛けると $x^{m + n} \equiv (r_{m} x + s_{m}) (r_{n} x + s_{n}) (mod f (x))$ である。右辺を展開して $x^{2} \equiv a x - b$ を用いると

(r_{m} x + s_{m}) (r_{n} x + s_{n}) = r_{m} r_{n} x^{2} + (r_{m} s_{n} + r_{n} s_{m}) x + s_{m} s_{n} \equiv r_{m} r_{n} (a x - b) + (r_{m} s_{n} + r_{n} s_{m}) x + s_{m} s_{n} = (r_{m} s_{n} + r_{n} s_{m} + a r_{m} r_{n}) x + (s_{m} s_{n} - b r_{m} r_{n}) .

一方、 $x^{m + n}$ を $f (x)$ で割った余りは定義により $r_{m + n} x + s_{m + n}$ である。2次式で割った余りは一次以下に一意に定まるから、係数を比較して

r_{m + n} = r_{m} s_{n} + r_{n} s_{m} + a r_{m} r_{n}, s_{m + n} = s_{m} s_{n} - b r_{m} r_{n}

を得る。

(2)

$x^{n}$ の割り算を明示すると、ある整式 $Q (x)$ を用いて $x^{n} = Q (x) f (x) + r_{n} x + s_{n}$ と書ける。この等式で $x$ を $a - x$ に置き換えると $(a - x)^{n} = Q (a - x) f (a - x) + r_{n} (a - x) + s_{n}$ である。ここで $f (a - x) = (a - x)^{2} - a (a - x) + b = x^{2} - a x + b = f (x)$ だから、右辺の第1項は $f (x)$ の倍数である。したがって $(a - x)^{n}$ を $f (x)$ で割った余りは $r_{n} (a - x) + s_{n} = - r_{n} x + (a r_{n} + s_{n})$ である。余りの一意性より $t_{n} = - r_{n}, u_{n} = a r_{n} + s_{n}$ が成り立つ。

大阪大学 1988年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1988年度
理系数学第1問