問題
球面が平面および平面に接し，しかも同時に球面に外接するとする．の中心の座標を，座標をとおく．空間内の範囲，，に含まれてしまうようなをすべて考えるとき，点の軌跡を求めよ．
出典：大阪大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
球面 が 平面と 平面に接し、さらに第一八分空間に含まれることから、半径を とすると中心は と表せる。問題の記号では である。与えられた球面との外接条件を中心間距離が半径の和に等しい式にし、平方して の円を得る。最後に、 側にも球全体が入る条件 を付け加え、円弧として範囲を述べる。
解答
の半径を 、中心を とする。 は 平面、すなわち に接し、かつ の側に含まれるので、中心から までの距離は半径に等しく である。同様に 平面、すなわち に接し、 の側に含まれるので である。したがって中心は で表され、半径も である。
与えられた球面の中心は 、半径は1である。 とこの球面が外接するための条件は、中心間距離が半径の和 に等しいことである。よって である。両辺は非負なので2乗してよく、整理すると すなわち である。平方完成して を得る。
ただし、 が第一八分空間 にすべて含まれるには、 平面から中心までの距離も半径以上でなければならない。中心の 座標は 、半径は だから が必要であり、またこの条件があれば 側からはみ出さない。
したがって点 の軌跡は である。これは中心 、半径 の円のうち、直線 以上にある部分である。端点は を代入して より だから である。