大阪大学 1987年度理系数学第5問解答・解説

問題

袋の中に赤玉が $a$ 個，白玉が $b$ 個入っている．この袋から無作為に1個の玉を取り出し，その色を記録して袋に戻す．この試行をくり返し，同じ色の玉が2回続けて出るか，または試行の回数が $2 N$ に達したとき，試行を止める．ただし， $N$ は2以上の一定の自然数とする．この試行がちょうど $k$ 回で終わる確率を $P_{k}$ $(k = 2, 3, \dots\dots, 2 N)$ とし， $p = \frac{a}{a + b}$ ， $q = \frac{b}{a + b}$ ， $r = pq$ とおく．

(1) $P_{2 l}$ ， $P_{2 l + 1}$ $(l = 1, 2, \dots\dots, N - 1)$ および $P_{2 N}$ を $r$ を用いて表せ．

(2) 試行の回数の期待値 $E = k = 2 \sum 2 N k P_{k}$ は，定数 $A$ ， $B$ を用いて， $E = A + B (r + r^{2} + \dots\dots + r^{N - 1})$ と表されることを示し， $A$ ， $B$ を求めよ．

(3) $E < 3$ を示せ．

出典：大阪大学 1987年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

停止するまでは赤白が必ず交互に出るので、まず「直前まで交互、最後に同色」または「上限 $2 N$ に到達」という形で $P_{k}$ を数える。偶数回終了と奇数回終了では最後に重なる色の位置が違うため、 $P_{2 l}$ と $P_{2 l + 1}$ を分ける。期待値は得られた分布を代入し、各 $r^{j}$ の係数を集めて $2 + 3 (r + \dots + r^{N - 1})$ に整理する。最後は $r = pq ≦ 1/4$ と有限等比和の評価から $E < 3$ を示す。

解答

(1)

停止前の色は交互に現れる。 $1 ≦ l ≦ N - 1$ のとき

P_{2 l} P_{2 l + 1} = p^{l + 1} q^{l - 1} + q^{l + 1} p^{l - 1} = r^{l - 1} (p^{2} + q^{2}) = r^{l - 1} (1 - 2 r), = p^{l} q^{l + 1} + q^{l} p^{l + 1} = r^{l} .

また、 $2 N - 1$ 回目まで交互なら、最後の色によらず $2 N$ 回で終わる。したがって

P_{2 N} = p^{N} q^{N - 1} + q^{N} p^{N - 1} = r^{N - 1} .

(2)

(1)を代入すると

E = l = 1 \sum N - 1 2 l r^{l - 1} (1 - 2 r) + l = 1 \sum N - 1 (2 l + 1) r^{l} + 2 N r^{N - 1} .

定数項は $2$ である。また $1 ≦ j ≦ N - 2$ に対する $r^{j}$ の係数は

(1 - 2 j) + 2 (j + 1) = 3,

$r^{N - 1}$ の係数も $(3 - 2 N) + 2 N = 3$ である。よって

E = 2 + 3 (r + r^{2} + \dots + r^{N - 1}), A = 2, B = 3.

(3)

$p + q = 1$ より $0 < r = pq ≦ \frac{1}{4}$ である。したがって

r + r^{2} + \dots + r^{N - 1} ≦ \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} + \dots < \frac{\frac{1}{4}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{3} .

(2)の式から $E < 2 + 3 \cdot \frac{1}{3} = 3$ である。

大阪大学 1987年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1987年度
理系数学第5問