問題
座標平面上に，点と直線が与えられたとき，までの距離と，までの距離が等しいような点の軌跡をとする．ただし，，である．
(1) を原点のまわりにだけ回転して得られる曲線の方程式を求めよ．
(2) と軸とによって囲まれた部分の面積をとする．をとを用いて表せ．
(3) とが関係を満たし，がの範囲を動くとき，の最大値を求めよ．
出典：大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
点 と直線 は同じ法線方向にそろっているため、軌跡 は焦点と準線で定まる放物線である。原点まわりに 回転すると焦点が 、準線が になり、標準形 を得る。面積は回転で変わらないので、回転後の放物線と回転後の 軸、すなわち直線 の間で積分する。最後は を代入し、 の最大値を微分で求める。
解答
(1)
は、点 までの距離と直線 までの距離が等しい点の軌跡であるから、焦点を 、準線を とする放物線である。
原点のまわりに点を角 だけ回転し、回転後の座標を とする。この回転により は へ移る。また直線 は すなわち へ移る。したがって回転後の曲線は、焦点 、準線 の放物線であるから である。通常の で書けば である。
(2)
回転は面積を変えないので、回転後の図形で面積を求めればよい。もとの 軸上の点 は、回転後 に移る。したがって、回転後の 軸は である。
放物線は であるから、直線との交点は より である。 では直線のほうが上側にあるので、面積 は である。計算すると
であり、
となる。
(3)
を代入すると
である。ここで とおく。 で
である。したがって最大は のとき、すなわち のときに起こる。この範囲では 、 だから である。よって
である。