問題
は3以上の奇数で，自然数の列は等比数列であるとする．
(1) 整数は整数の倍数であることを示せ．
(2) が素数となるための初項，公比および項数についての条件を求めよ．
方針
文系第1問の5項を、奇数個 に広げた問題として見る。 に交代和を掛けると二乗和 になる恒等式を作り、交代和が整数であることから倍数性を示す。素数条件では なので交代和が1に限られる。公比を既約分数 とし、自然数等比数列の一般形に直して、交代和が1になるのは全項1の場合だけであることを示す。最後に となるため、 自身が素数であることが必要十分条件になる。
解答
(1)
公比を とする。 は奇数なので、 と書ける。ただし である。
交代和 を考える。これは であるから整数である。また
が成り立つ。したがって である。よって は整数 の倍数である。
(2)
(1)より であり、 と は正の整数である。実際、 である。また で各項が自然数だから である。したがって が素数なら でなければならない。
公比を既約分数 とおく。ただし は互いに素な自然数である。 がすべて自然数であるため、ある自然数 によって と表せる。したがって である。ただし である。 のとき、正の項と負の項を後ろから組にすると である。 のときも同様に である。したがって となるには が必要で、互いに素であることから である。このとき であるから、さらに より である。
以上より、 が素数となるためには が必要である。この場合 である。したがって が素数であるためには、 が素数でなければならない。
逆に、初項が1、公比が1で、 が素数なら、全項が1で となり、これは素数である。
ゆえに必要十分条件は である。問題文で は3以上の奇数とされているので、この は奇素数である。