問題
原点で平面に接し，平面に関して点と同じ側にある半径2の球がある．の中心をとし，平面上の曲線上に点をとる．
(1) の大きさを求めよ．
(2) 点が曲線上を動くとき，2点，を通る直線ととの共有点は，平面に垂直なある平面ととの交線上を動く．平面の方程式を求めよ．
(3) 平面によって分けられる球の2つの部分のうち，小さいほうの体積を求めよ．
方針
球の中心 を最初に決め、点 を とおく。 は と の内積と長さを計算すると、 が消えて角が一定になる。 は直線 をパラメータ表示して球に代入し、共有点の座標を で表す。その座標が常に満たす一次方程式から平面 を得る。 は中心から平面までの距離を出し、断面に平行な円板で1変数積分して小さい部分の体積を求める。
解答
球は 平面、つまり に原点で接している。半径が2で、点 と同じ側にあるから、中心は である。また は 平面上の曲線 上にあるので、実数 を用いて とおける。
(1)
であり、 である。したがって
である。また であり、 より である。よって
となる。したがって である。
(2)
直線 上の点を とおく。すなわち である。球面の方程式は であるから、これを代入すると である。整理すると すなわち である。したがって共有点に対応する値は である。
このとき共有点の座標は
である。整理して
となる。この点では が常に成り立つ。したがって求める平面は である。この平面は を含まない方程式で表されるので、 平面に垂直である。
(3)
中心 から平面 までの距離は である。球の半径は2なので、小さい部分は中心から距離 の平面より外側にある部分である。
中心から平面に垂直な向きを 軸にとると、断面円の半径の二乗は である。小さい部分は に対応するから、体積 は である。よって となり、
である。