大阪大学 1987年度
理系数学 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 微分、ベクトル
- 解法
- 微分による最大最小、内積の利用、文字消去
- 難易度
- 7 / 10 計算量 6 / 10 目安 24〜28分
問題
a，bを定数とし，f(x)=(x−a)2e−x2+bとおく．
(1) 関数f(x)が極大値をとるxの値α，β (α<β)と，極小値をとるxの値γを求めよ．
(2) 曲線y=f(x)上の3点A(α,f(α))，B(β,f(β))，C(γ,f(γ))について，ベクトルCA，CBの内積をa，bを用いて表せ．
(3) ∠ACBが鋭角となるためのa，bについての条件を求めよ．
出典：大阪大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
指数部分は常に正なので、微分後の符号は (x−a){1−x(x−a)} で判断できる。極小点は x=a で、極大点は x2−ax−1=0 の2解になる。内積では C=(a,0) とし、(α−a)(β−a) と f(α)f(β) を別々に計算する。極大点では x(x−a)=1 が成り立つので、縦座標の積が e2b−a2−2 まで簡単になり、鋭角条件は内積が正であることに帰着する。
解答
(1)
f(x)=(x−a)2e−x2+b より f′(x)=2(x−a)e−x2+b−2x(x−a)2e−x2+b である。したがって f′(x)=2e−x2+b(x−a){1−x(x−a)} となる。ここで e−x2+b>0 である。
臨界点は x=a または 1−x(x−a)=0 から得られる。後者は x2−ax−1=0 であるから、2解は α=2a−a2+4,β=2a+a2+4 である。α<a<β であり、f(a)=0、かつ f(x)≧0 だから、x=a で極小値をとる。さらに ∣x∣ が大きいところでは f(x) は0に近づき、符号変化から x=α,β で極大値をとる。したがって
α=2a−a2+4,β=2a+a2+4,γ=a
である。
(2)
C=(a,0) である。また α,β は x2−ax−1=0 の2解であるから α+β=a,αβ=−1 が成り立つ。したがって (α−a)(β−a)=(−β)(−α)=αβ=−1 である。
次に縦座標の積を求める。x=α,β では x(x−a)=1 であるから (x−a)2=x21 である。よって f(α)f(β)=(α−a)2(β−a)2e−α2−β2+2b である。ここで (α−a)(β−a)=−1 より (α−a)2(β−a)2=1 であり、また α2+β2=(α+β)2−2αβ=a2+2 である。したがって f(α)f(β)=e2b−a2−2 である。
以上より
CA⋅CB=(α−a)(β−a)+f(α)f(β)=−1+e2b−a2−2
である。すなわち CA⋅CB=e2b−a2−2−1 である。
(3)
∠ACB が鋭角であるための条件は CA⋅CB>0 である。(2) の結果から e2b−a2−2−1>0 であり、これは e2b−a2−2>1 と同値である。指数関数 ex は x>0 のとき1より大きいので 2b−a2−2>0 を得る。したがって求める条件は b>2a2+2 である。
