問題
右図のような，1辺の長さが1の立方体を考え，を頂点とし三角形を底面とする三角すいと，を頂点とし三角形を底面とする三角すいとの共通部分をとする．
(1) 平面によるの切り口の面積の最大値を求めよ．
(2) の体積を求めよ．
出典：大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第5問
方針
2つの三角すいの高さ の断面を求め、その共通部分を正方形と帯 の共通部分として場合分けする。
解答
{座標を とし、上面の点を とする。
平面 で切る。立方体の内部だけを考えればよいので である。
まず、三角すい の断面を考える。底面 は 上にあり、頂点 は 上にあるので、 の断面は、底面の各点から へ向かう線分を の割合だけ進んだ点でできる。したがって断面の3頂点は、 平面上で である。この三角形は で表される。
同様に、三角すい の による断面の3頂点は であり、この三角形は で表される。
したがって、共通部分 の による断面は を満たす 平面上の部分である。 では が空になるので断面は空である。
以下、 を考える。正方形 の一辺の長さは である。この正方形の中で を満たす部分が断面である。 のときは、帯 から外れる2つの直角二等辺三角形が残る。それぞれの脚の長さは である。よって断面積 は
である。 のときは であるから、正方形全体が に含まれる。したがって である。
(1)
では である。これは上に凸の2次式で、最大は のときである。その値は である。 では であり、最大でも である。これは より小さい。
よって切り口の面積の最大値は である。
(2)
体積は断面積を について積分すればよい。したがって
である。よって である。}