大阪大学 1985年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ は0以上の整数とする．

(1) $a_{1} + 2 a_{2} = n$ を満たす0以上の整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ の組の個数 $X (n)$ を求めよ．

(2) $a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} = n$ を満たす0以上の整数 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ の組の個数を $Y (n)$ で表すとき，次の等式

Y (3 n) + Y (3 n + 1) + Y (3 n + 2) = l = 0 \sum 3 n + 2 X (l)

が成り立つことを示し，この式の右辺の値を計算せよ．

出典：大阪大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

$X (n) = ⌊ n /2 ⌋ + 1$ を求め、 $a_{3}$ を固定して3つの $Y$ を剰余類別の $X$ の和に分解し、偶奇別に総和を計算する。

解答

{(1) $a_{2}$ を1つ決めると $a_{1} = n - 2 a_{2}$ と一意に決まる。 $a_{1}$ が0以上であるためには $0 ≦ n - 2 a_{2}$ すなわち $0 ≦ a_{2} ≦ \frac{n}{2}$ であればよい。

したがって $a_{2}$ の取り方は $⌊ \frac{n}{2} ⌋ + 1$ 通りである。よって $X (n) = ⌊ \frac{n}{2} ⌋ + 1$ である。偶奇で書けば $X (2 s) = s + 1, X (2 s + 1) = s + 1 (s = 0, 1, 2, \dots)$ である。

(2)

$a_{3}$ を固定して $a_{3} = j$ とおくと、残りの条件は $a_{1} + 2 a_{2} = N - 3 j$ である。したがって、そのときの $(a_{1}, a_{2})$ の個数は $X (N - 3 j)$ である。ただし $N - 3 j ≧ 0$ でなければならない。ゆえに

Y (N) = j ≧ 0 N - 3 j ≧ 0 \sum X (N - 3 j)

である。

これを $N = 3 n, 3 n + 1, 3 n + 2$ に適用すると $Y (3 n) = X (3 n) + X (3 n - 3) + \dots + X (0),$ $Y (3 n + 1) = X (3 n + 1) + X (3 n - 2) + \dots + X (1),$ $Y (3 n + 2) = X (3 n + 2) + X (3 n - 1) + \dots + X (2)$ である。右辺に現れる添字は、それぞれ $3$ で割った余りが $0, 1, 2$ のものを集めたものである。したがって、3つを足すと $0, 1, 2, \dots, 3 n + 2$ がちょうど1回ずつ現れる。よって $Y (3 n) + Y (3 n + 1) + Y (3 n + 2) = \sum_{l = 0}^{3 n + 2} X (l)$ である。

次に右辺を計算する。 $n = 2 t$ のとき、 $3 n + 2 = 6 t + 2$ である。ここで $6 t + 2 = 2 (3 t + 1)$ だから

l = 0 \sum 6 t + 2 X (l) = (1 + 1) + (2 + 2) + \dots + ((3 t + 1) + (3 t + 1)) + (3 t + 2) = 2 \cdot \frac{( 3 t + 1 ) ( 3 t + 2 )}{2} + 3 t + 2 = (3 t + 2)^{2}

である。 $n = 2 t$ を戻すと $(3 t + 2)^{2} = (\frac{3 n + 4}{2})^{2} = \frac{( 3 n + 4 ) ^{2}}{4}$ である。 $n = 2 t + 1$ のとき、 $3 n + 2 = 6 t + 5$ である。ここで $6 t + 5 = 2 (3 t + 2) + 1$ だから

l = 0 \sum 6 t + 5 X (l) = (1 + 1) + (2 + 2) + \dots + ((3 t + 3) + (3 t + 3)) = 2 \cdot \frac{( 3 t + 3 ) ( 3 t + 4 )}{2} = (3 t + 3) (3 t + 4)

である。 $n = 2 t + 1$ を戻すと $(3 t + 3) (3 t + 4) = \frac{( 3 n + 4 ) ^{2} - 1}{4}$ である。

したがって右辺の値は

l = 0 \sum 3 n + 2 X (l) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{( 3 n + 4 ) ^{2}}{4} \frac{( 3 n + 4 ) ^{2} - 1}{4} (n が偶数), (n が奇数)

である。}

大阪大学 1985年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(2)

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理系数学第1問