問題
を正数とし，とする．
(1) 方程式が3個の実数解をもち，それらの解が互いに1以上離れているためのの条件を求めよ．
(2) (1)の条件を満たすのうちで，曲線と軸とによって囲まれる図形の面積を最小にするものを求めよ．
出典：大阪大学 1985年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
(1)は として、2次式の2根を と置き、根の間隔条件を に直す。(2)は 、、 として、正負が変わる区間ごとに面積を原始関数で表す。得られた の4次式を で最小化し、最後に に戻す。
解答
(1)
である。2次方程式 の2根を とおくと である。 のもとで が3個の実数解をもつには、、すなわち であればよい。このとき3解は である。
これらが互いに1以上離れている条件は である。したがって であり、 より である。
(2)
， とおく。 では である。また なので、 は で正、 で負である。
原始関数を とおく。このとき囲まれる図形の総面積 は
である。
ここで ， を代入すると
である。よって となる。
これを微分すると である。 なので、符号を決めるのは である。この2次方程式の解は であり、区間 に入るのは だけである。 の近くでは なので 、その後 を過ぎると となる。したがって面積は で最小になる。
求める は
である。よって である。