大阪大学 1985年度理系数学第2問解答・解説

問題

座標平面上で，点 $P (x, y)$ を点 $P^{'} (x^{'}, y^{'})$ へうつす1次変換 $f$ が

(x^{'} y^{'}) = (3 - 3 - 2 4) (x y)

で与えられている．点 $P_{1} (x_{1}, y_{1})$ が $x_{1} \neq = y_{1}$ を満たすとし， $P_{n + 1} = f (P_{n})$ $n = 1, 2, \dots\dots$ によって $P_{2}, P_{3}, \dots\dots$ を定め， $P_{n}$ の座標を $(x_{n}, y_{n})$ とする．

(1) ベクトル $P_{1} P_{2}$ は，点 $P_{1}$ の位置に無関係な，原点を通る定直線に平行であることを示せ．

(2) ベクトル $P_{1} P_{n}$ を $P_{1} P_{2}$ によって表せ．

(3) どの $y_{n}$ も0とならないとき，数列 ${\frac{x _{n}}{y _{n}}}$ は収束することを示し，その極限値を求めよ．

出典：大阪大学 1985年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

固有方向 $(1, 1)$ 、 $(2, - 3)$ の倍率が1、6であることを使い、点列を両方向へ分解して差ベクトルと比の極限を求める。

解答

{行列を

A = (3 - 3 - 2 4)

とおく。

(1)

$P_{1}$ の位置ベクトルを

p_{1} = (x_{1} y_{1})

と書くと、 $P_{2}$ の位置ベクトルは $A p_{1}$ である。したがって

P_{1} P_{2} = (A - I) p_{1} = (2 - 3 - 2 3) (x_{1} y_{1}) = (x_{1} - y_{1}) (2 - 3)

である。仮定より $x_{1} \neq = y_{1}$ なので、このベクトルは0ではない。よって $P_{1} P_{2}$ は、点 $P_{1}$ の位置によらず、常に

(2 - 3)

に平行である。これは原点を通る直線 $3 x + 2 y = 0$ の方向である。

(2)

次の2つの計算が成り立つ。

A (11) = (11), A (2 - 3) = 6 (2 - 3)

である。 $(1, 1)$ と $(2, - 3)$ は平行でないので、 $P_{1}$ の位置ベクトルは一意に

(x_{1} y_{1}) = α (11) + β (2 - 3)

と表せる。このとき、変換を $n - 1$ 回くり返すと

(x_{n} y_{n}) = α (11) + 6^{n - 1} β (2 - 3)

である。

したがって

P_{1} P_{n} = (x_{n} y_{n}) - (x_{1} y_{1}) = (6^{n - 1} - 1) β (2 - 3)

である。一方、 $n = 2$ とすれば

P_{1} P_{2} = 5 β (2 - 3)

である。ゆえに

P_{1} P_{n} = \frac{6 ^{n - 1} - 1}{5} P_{1} P_{2}

である。

(3)

$x_{1} \neq = y_{1}$ であるから、(1)の式より $P_{1} P_{2} \neq = 0$ である。したがって上の分解では $β \neq = 0$ である。

(2)

より

\frac{x _{n}}{y _{n}} = \frac{α / ( 6 ^{n - 1} β ) + 2}{α / ( 6 ^{n - 1} β ) - 3} .

ここで $β \neq = 0$ かつ $α / (6^{n - 1} β) \to 0$ なので，数列は $- 2/3$ に収束する。}

大阪大学 1985年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(2)

大阪大学 1985年度
理系数学第2問