大阪大学 1985年度
理系数学 第3問

解答

$f(x)=a\tan \left(\frac{\pi x}{4}\right)-x-a+1$ である。微分すると $f^{\prime }(x)=\frac{a\pi }{4}\cdot \frac{1}{{\cos }^2(\pi x/4)}-1$ である。また $0<x<1$ では $0<\frac{\pi x}{4}<\frac{\pi }{4}$ なので $1<\frac{1}{{\cos }^2(\pi x/4)}<2$ である。

(1)

$a\leqq 0$ のときは $f^{\prime }(x)<0$ であり、極値はない。よって $a>0$ とする。 $f^{\prime }(x)=0$ は $\frac{1}{{\cos }^2(\pi x/4)}=\frac{4}{a\pi }$ と同値である。左辺は $0<x<1$ で1から2まで単調に増加するので、内部に解をもつ条件は $1<\frac{4}{a\pi }<2$ である。これを $a$ について解くと $\frac{2}{\pi }<a<\frac{4}{\pi }$ である。

この範囲では $a>0$ であり、さらに

である。したがって $f^{\prime }(x)$ は単調に増加し、ただ1回だけ負から正に変わる。よって $f(x)$ はそこで減少から増加に移る。

したがって、このときの極値は $0\leqq x\leqq 1$ における $f(x)$ の最小値である。

(2)

端点の値は $f(0)=1-a,f(1)=a\tan \frac{\pi }{4}-1-a+1=0$ である。

まず $a\leqq 2/\pi$ の場合を考える。このとき $0<x<1$ で $f^{\prime }(x)<0$ または端点に近づくところを除いて $f^{\prime }(x)\leqq 0$ であり、$f$ は内部で増加しない。しかも $f(1)=0$ だから $f(x)>0(0<x<1)$ であり、内部に解はない。

次に $\frac{2}{\pi }<a<\frac{4}{\pi }$ の場合を考える。このとき (1) より $f$ は一度だけ減少から増加に移る。

このうち $\frac{2}{\pi }<a<1$ なら $f(0)=1-a>0$ である。また極小点より右側では $f$ は増加し、$f(1)=0$ であるから、$x=1$ の少し左では $f(x)<0$ である。よって中間値の定理により、$0<x<1$ に少なくとも1つ解がある。

さらに、減少部分では $f$ は高い値から低い値へ一度だけ通過するので0を高々1回しか通らない。増加部分では、$x<1$ の間は $f(x)<f(1)=0$ であるから、0を通らない。したがって、この場合の解はただ1つである。

一方、$1\leqq a<\frac{4}{\pi }$ なら $f(0)=1-a\leqq 0$ であり、そこからいったん減少してから $f(1)=0$ まで増加するので、内部では $f(x)<0$ である。したがって内部に解はない。

最後に $a\geqq 4/\pi$ の場合は $f^{\prime }(x)>0$ または端点に近づくところを除いて $f^{\prime }(x)\geqq 0$ であり、$f$ は内部で減少しない。しかも $a>1$ なので $f(0)=1-a<0,f(1)=0$ である。よって $0<x<1$ では $f(x)<0$ であり、内部に解はない。

以上より、方程式 $f(x)=0$ が $0<x<1$ に解をもつための条件は $\frac{2}{\pi }<a<1$ であり、このとき解はただ1つに限る。