大阪大学 1984年度理系数学第5問解答・解説

問題

$n$ 個の玉に1から $n$ まで番号をつけ箱の中に入れる．この箱から $k$ 個の玉をでたらめに取り出し，それらの玉の最大の番号を $X$ とする．ただし $n$ ， $k$ は $2 ≦ k ≦ n$ を満たす定まった整数である．

(1) $i = 1, 2, \dots\dots, n$ に対し， $X = i$ である確率 $p_{i}$ を求めよ．

(2) 正の整数 $l$ ， $m$ に対し

i = 1 \sum m i (i + 1) \dots\dots (i + l - 1) = \frac{m ( m + 1 ) \dots\dots ( m + l )}{l + 1}

を証明し，これを用いて $X$ の期待値 $E (X)$ を求めよ．

出典：大阪大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

最大値が $i$ になるには、番号 $i$ の玉を必ず取り、残り $k - 1$ 個を $1, \dots, i - 1$ から選ぶ。(2) の積の和は、右辺を $F_{m}$ と見て $F_{i} - F_{i - 1}$ を計算する差分型の証明にする。期待値では $i_{i - 1} C_{k - 1} = k_{i} C_{k}$ を使い、示した和の公式を組合せの和へ直して計算する。

解答

(1)

取り出す $k$ 個の玉の組はすべて同様に確からしく、その総数は $_{n} C_{k}$ である。

最大の番号が $i$ になるには、番号 $i$ の玉を取り、残り $k - 1$ 個を $1, 2, \dots, i - 1$ から選べばよい。したがって $i ≧ k$ のとき $p_{i} = \frac{_{i - 1} C _{k - 1}}{_{n} C _{k}}$ である。一方、 $i < k$ では $k$ 個を取り出して最大が $i$ になることはできないので $p_{i} = 0$ である。

よって

p_{i} = ⎩ ⎨ ⎧ 0 \frac{_{i - 1} C _{k - 1}}{_{n} C _{k}} (1 ≦ i < k), (k ≦ i ≦ n)

である。

(2)

まず和の公式を証明する。 $F_{i} = \frac{i ( i + 1 ) \dots ( i + l )}{l + 1}$ とおく。ただし $F_{0} = 0$ と考える。すると $F_{i} - F_{i - 1} = \frac{i ( i + 1 ) \dots ( i + l ) - ( i - 1 ) i \dots ( i + l - 1 )}{l + 1}$ である。右辺の分子から $i (i + 1) \dots (i + l - 1)$ をくくると ${(i + l) - (i - 1)} i (i + 1) \dots (i + l - 1) = (l + 1) i (i + 1) \dots (i + l - 1)$ となる。したがって $F_{i} - F_{i - 1} = i (i + 1) \dots (i + l - 1)$ である。

これを $i = 1$ から $m$ まで加えると中間の項が消えて

i = 1 \sum m i (i + 1) \dots (i + l - 1) = F_{m} - F_{0} = \frac{m ( m + 1 ) \dots ( m + l )}{l + 1}

となり、公式が示された。

次に期待値を求める。(1)より

E (X) = i = k \sum n i \frac{_{i - 1} C _{k - 1}}{_{n} C _{k}}

である。ここで $i_{i - 1} C_{k - 1} = k_{i} C_{k}$ なので

E (X) = \frac{k}{_{n} C _{k}} i = k \sum n_{i} C_{k}

である。

いま $_{i} C_{k} = \frac{( i - k + 1 ) ( i - k + 2 ) \dots i}{k !}$ である。 $j = i - k + 1$ とおくと、上で示した公式から $\sum_{i = k}^{n}_{i} C_{k} =_{n + 1} C_{k + 1}$ を得る。したがって $E (X) = \frac{k _{n + 1} C _{k + 1}}{_{n} C _{k}}$ である。

最後に組合せを約分すると $\frac{_{n + 1} C _{k + 1}}{_{n} C _{k}} = \frac{n + 1}{k + 1}$ だから $E (X) = \frac{k ( n + 1 )}{k + 1}$ である。

大阪大学 1984年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1984年度
理系数学第5問