問題
点を中心とする半径1の円に内接する正角形（頂点の番号は左回りにつける）をで表す．を点のまわりに角回転した図形をとし，この回転によっての頂点はそれぞれの頂点にうつるものとする．がの範囲にあるとき，次の問に答えよ．
(1) 辺と辺の交点をとするとき，を証明し，の長さを求めよ．
(2) とが重なる部分の面積と，が最小となるの値を求めよ．
方針
とおく。辺 は、原点からの距離が 、法線方向が偏角 の直線である。同様に回転後の辺の直線を考えると、交点は対称軸上にあり、半径が計算できる。重なり部分は頂点半径が2種類で交互に現れる 角形なので、隣り合う2頂点と で作る三角形 個の面積を足す。
解答
(1)
とおく。図形全体を回転しても長さや角度は変わらないので、 の偏角を としてよい。このとき の偏角は である。
辺 を含む直線は、原点からの距離が で、法線方向の偏角が の直線である。これは、弦 の中点が偏角 の半径上にあるためである。
一方、辺 は、辺 を角 だけ回転したものである。辺 の法線方向は だから、辺 の法線方向は であり、原点からの距離は同じく である。
したがって、辺 の直線と辺 の直線は、偏角 の半直線に関して対称である。よって交点 はその半直線上にあり、 である。 とおく。点 から、辺 の法線方向への成分は であり、これは直線の原点からの距離 に等しい。よって となり、
である。
(2)
重なり部分の境界は、 の辺と の辺が交互に現れる 角形である。隣り合う頂点の偏角の差は常に である。
(1)で求めた型の頂点の半径を とする。もう一方の型の頂点は、例えば辺 と辺 の交点である。この2直線の法線方向は と であり、対称軸の偏角は である。したがって同様に である。
重なり部分は、原点 と隣り合う2頂点でできる三角形に分けられる。各三角形は、2辺の長さが 、はさむ角が であるから、面積は である。この三角形が 個あるので である。したがって
すなわち
である。
次に最小となる を求める。分子は によらず正であるから、分母 が最大になるとき は最小になる。積和公式より である。範囲 では、 は のとき最大である。
したがって のとき は最小となる。その最小値は である。