大阪大学 1984年度理系数学第4問解答・解説

問題

$x \neq = 1$ に対して $f_{1} (x) = \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}$ とおく． $n = 2, 3, \dots\dots$ に対して $f_{n} (x) = x f_{n - 1} (x) + n$ によって関数 $f_{2} (x), f_{3} (x), \dots\dots$ を定義する．このとき $n \to \infty lim \frac{f _{n} ( e ^{\frac{1}{n}} )}{n ^{2}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

固定した $x$ について漸化式を展開し、 $f_{1} (x)$ から来る項と、途中で加わる $2, 3, \dots, n$ の項に分ける。最後に $x = e^{1/ n}$ を代入し、前者は $n (e^{1/ n} - 1) \to 1$ で評価する。後者は $\sum (j / n) e^{1 - j / n} (1/ n)$ の形に直し、区間 $[0, 1]$ の定積分として極限を計算する。

解答

固定した $x$ について、漸化式 $f_{n} (x) = x f_{n - 1} (x) + n$ を順に展開する。すると $f_{n} (x) = x^{n - 1} f_{1} (x) + \sum_{j = 2}^{n} j x^{n - j}$ である。これは、 $f_{1} (x)$ が $n - 1$ 回 $x$ を掛けられ、途中で加わった $j$ がその後 $n - j$ 回 $x$ を掛けられることから分かる。

ここで $x = e^{1/ n}$ とおく。まず第1項について $\frac{x ^{n - 1} f _{1} ( x )}{n ^{2}} = \frac{e ^{(n - 1) / n}}{n ^{2} ( e ^{1/ n} - 1 ) ^{2}}$ である。さらに $n (e^{1/ n} - 1) \to 1$ だから $\frac{e ^{(n - 1) / n}}{n ^{2} ( e ^{1/ n} - 1 ) ^{2}} \to e$ である。

次に和の部分を考える。

\frac{1}{n ^{2}} j = 2 \sum n j x^{n - j} = j = 2 \sum n \frac{j}{n} e^{1 - j / n} \frac{1}{n}

である。これは $t = j / n$ と見ると、関数 $t e^{1 - t}$ の $0 ≦ t ≦ 1$ における和の極限である。したがって $\sum_{j = 2}^{n} \frac{j}{n} e^{1 - j / n} \frac{1}{n} \to \int_{0}^{1} t e^{1 - t} d t$ である。

この積分を部分積分で計算すると

\int_{0}^{1} t e^{1 - t} d t = e \int_{0}^{1} t e^{- t} d t = e [- (t + 1) e^{- t}]_{0}^{1} = e - 2

である。

よって求める極限は $e + (e - 2) = 2 e - 2$ である。

大阪大学 1984年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

大阪大学 1984年度
理系数学第4問