問題
点を通り，球と接する直線の全体を考える．
(1) 直線と球の接点の全体は1つの平面上にある．この平面の方程式を求めよ．
(2) これらの直線が平面と交わる点の全体は，平面上の曲線となる．この曲線の方程式を求めよ．
出典：大阪大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1) は、球の中心 、外部点 、接点 を置き、半径 と接線 が垂直であることを内積で表す。(2) は、 平面上の交点 を置き、直線 が球に接する条件を「中心 から直線 までの距離が1」として式にする。距離は、 を直線方向へ射影した長さを使って計算する。
解答
(1)
球の中心を とし、与えられた点を とする。接点を とおく。
接点では、半径 と接線 が垂直であるから である。ここで なので となる。球の半径は だから である。
また である。よって となり、整理して を得る。これが接点全体のある平面である。
(2)
直線が 平面と交わる点を とする。直線 の方向ベクトルは である。また である。
直線 が球に接するための条件は、中心 から直線 までの距離が半径 に等しいことである。そこで、 のうち直線方向に沿う成分を取り除いて距離を計算する。
距離の2乗は
である。ここで である。したがって接する条件は である。
これを整理すると であり、 を得る。
したがって、求める 平面上の曲線は である。平方完成すると とも書ける。