大阪大学 1984年度理系数学第1問解答・解説

問題

平行でない2直線

l_{1} : p_{1} x + q_{1} y + 1 = 0

l_{2} : p_{2} x + q_{2} y + 1 = 0

と，1次変換 $f$ が与えられている． $f$ が $l_{1}$ を $l_{2}$ にうつし $l_{2}$ を $l_{1}$ にうつす変換であるとき，合成変換 $f \cdot f$ は恒等変換であることを示せ．

出典：大阪大学 1984年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

直線を $L_{i} (X) = - 1$ と書けるように、 $L_{i} (x, y) = p_{i} x + q_{i} y$ とおく。 $f$ が2直線を入れ替えることから、 $L_{2} (f (X)) - L_{1} (X)$ と $L_{1} (f (X)) - L_{2} (X)$ がそれぞれ全平面で $0$ になることを示す。最後に、 $l_{1}, l_{2}$ が平行でないので $L_{1}, L_{2}$ の2つの値が点を一意に決めることを用いる。

解答

点 $X = (x, y)$ に対して $L_{1} (X) = p_{1} x + q_{1} y, L_{2} (X) = p_{2} x + q_{2} y$ とおく。すると $l_{1} : L_{1} (X) = - 1, l_{2} : L_{2} (X) = - 1$ である。 $f$ が $l_{1}$ を $l_{2}$ にうつすので、 $X \in l_{1}$ なら $f (X) \in l_{2}$ である。つまり $L_{1} (X) = - 1$ を満たすすべての点 $X$ について $L_{2} (f (X)) = - 1$ が成り立つ。よって $L_{2} (f (X)) - L_{1} (X) = 0$ が直線 $l_{1}$ 上のすべての点で成り立つ。

ここで $L_{2} (f (X)) - L_{1} (X)$ は $x, y$ の一次式で、定数項をもたない。もしこれが零でない一次式なら、その値が $0$ になる点全体は原点を通る直線である。しかし $l_{1}$ は $p_{1} x + q_{1} y + 1 = 0$ で表されるので原点を通らない。したがって、上の一次式は恒等的に $0$ であり、 $L_{2} (f (X)) = L_{1} (X)$ がすべての点 $X$ で成り立つ。

同様に、 $f$ が $l_{2}$ を $l_{1}$ にうつすことから $L_{1} (f (X)) = L_{2} (X)$ もすべての点 $X$ で成り立つ。

したがって任意の点 $X$ について $L_{1} (f (f (X))) = L_{2} (f (X)) = L_{1} (X)$ かつ $L_{2} (f (f (X))) = L_{1} (f (X)) = L_{2} (X)$ である。

最後に、 $l_{1}$ と $l_{2}$ は平行でないから、係数の組 $(p_{1}, q_{1}), (p_{2}, q_{2})$ は比例しない。したがって、 $L_{1}$ と $L_{2}$ の値がともに等しい2点は同じ点である。よって $f (f (X)) = X$ がすべての点 $X$ で成り立つ。

したがって合成変換 $f \cdot f$ は恒等変換である。

大阪大学 1984年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

大阪大学 1984年度
理系数学第1問