大阪大学 1983年度理系数学第5問解答・解説

問題

つぼの中に1から4までの番号を書いた球が1個ずつ合計4個入っている．つぼから無作為に1個を取り出してその番号を記録し，つぼに戻す試行を考える．

(1) この試行をくり返し $n$ 回行う．こうして得られる $n$ 個の数字のうち $k$ 個が同じ値で，残りの $(n - k)$ 個はそれよりも小さい値である事象を $A_{k}$ とする $(1 ≦ k ≦ n)$ ． $A_{k}$ の確率 $P (A_{k})$ を求めよ．

(2) (1)のおける個数 $k$ の平均 $k = 1 \sum n k P (A_{k})$ を $E_{n}$ とおく． $n \to \infty lim \frac{E _{n}}{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系第5問

方針

事象 $A_{k}$ は「最大値が $j$ で、その $j$ がちょうど $k$ 個出る」と読み替える。 $1 ≦ k < n$ では $j = 2, 3, 4$ を足し、 $k = n$ では全て同じ数字になる場合を別に扱う。(2) は $k$ を最大値の出現回数と見て、その期待値を「各試行が全体の最大値に等しい確率」の和として求める。

解答

(1)

事象 $A_{k}$ は、得られた $n$ 個の数字の最大値がある値 $j$ で、その $j$ がちょうど $k$ 個出る事象である。 $1 ≦ k < n$ とする。最大値が $j$ であるとき、 $j$ は $2, 3, 4$ のいずれかである。 $j$ が出る位置を $k$ 個選び、残り $n - k$ 個は $1, 2, \dots, j - 1$ から選べばよい。

したがって

P (A_{k}) = \frac{_{n} C _{k} { 1 ^{n - k} + 2 ^{n - k} + 3 ^{n - k} }}{4 ^{n}} (1 ≦ k < n)

である。 $k = n$ のときは、 $n$ 個すべてが同じ数字であればよい。数字は $1, 2, 3, 4$ の4通りなので $P (A_{n}) = \frac{4}{4 ^{n}}$ である。

(2)

$E_{n}$ は、 $n$ 回の記録のうち最大値に等しいものの個数の期待値である。各回は対称なので $\frac{E _{n}}{n}$ は「1回目の数字が、 $n$ 個全体の最大値に等しい確率」である。

1回目の数字が $j$ であり、残り $n - 1$ 個がすべて $j$ 以下であればよい。したがって $\frac{E _{n}}{n} = \sum_{j = 1}^{4} \frac{1}{4} (\frac{j}{4})^{n - 1}$ である。つまり $\frac{E _{n}}{n} = \frac{1 + 2 ^{n - 1} + 3 ^{n - 1} + 4 ^{n - 1}}{4 ^{n}}$ である。

この式で、 $n \to \infty$ とすると、 $4^{n - 1}$ の項だけが残る。したがって $lim_{n \to \infty} \frac{E _{n}}{n} = \frac{1}{4}$ である。

大阪大学 1983年度理系数学 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1983年度
理系数学第5問