大阪大学 1983年度理系数学第4問解答・解説

問題

曲線 $C_{1} : y = x - c$ $(c > 0)$ と曲線 $C_{2} : y = e^{a x}$ $(a > 0)$ が1点 $P$ を共有し，その点において共通の接線 $l$ をもつとする．

(1) 点 $P$ の座標および $c$ を $a$ を用いて表せ．

(2) 2つの曲線 $C_{1}$ ， $C_{2}$ と $x$ 軸， $y$ 軸とで囲まれる図形の面積を $a$ を用いて表せ．

(3) 曲線 $C_{1}$ と $x$ 軸との交点を $Q$ とし，直線 $P Q$ と直線 $l$ のなす角を $θ$ とする． $a$ がどんな値のとき $tan θ = \frac{1}{4}$ となるか．

出典：大阪大学 1983年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

共有点 $P = (p, y)$ を置き、2曲線の値と導関数が一致する条件を使う。接線条件から $y^{2} = 1/ (2 a)$ が出て、 $p, c$ も決まる。面積は $C_{2}$ の下の面積から $C_{1}$ の下の面積を引く。(3) は $P Q$ と共通接線の傾きから角の正接を作り、最後に $c > 0$ で根を選ぶ。

解答

(1)

共有点を $P = (p, y) (y > 0)$ とする。すると $y = p - c = e^{a p}$ である。 $C_{1}$ の導関数は $\frac{1}{2 x - c}$ であり、 $C_{2}$ の導関数は $a e^{a x}$ である。共通接線をもつので、点 $P$ で $\frac{1}{2 y} = a y$ が成り立つ。したがって $y^{2} = \frac{1}{2 a}, y = \frac{1}{2 a}$ である。

また $e^{a p} = \frac{1}{2 a}$ より $a p = - \frac{1}{2} lo g (2 a)$ だから $p = - \frac{l o g ( 2 a )}{2 a}$ である。さらに $p - c = y^{2} = \frac{1}{2 a}$ なので $c = - \frac{l o g ( 2 a ) + 1}{2 a}$ である。点 $P$ は $P = (- \frac{l o g ( 2 a )}{2 a}, \frac{1}{2 a})$ である。

(2)

求める面積は $\int_{0}^{p} e^{a x} d x - \int_{c}^{p} x - c d x$ である。

まず $\int_{0}^{p} e^{a x} d x = \frac{e ^{a p} - 1}{a} = \frac{1}{a 2 a} - \frac{1}{a}$ である。また $p - c = \frac{1}{2 a}$ なので

\int_{c}^{p} x - c d x = \frac{2}{3} (\frac{1}{2 a})^{3/2} = \frac{1}{3 a 2 a}

である。

したがって面積は $\frac{2}{3 a 2 a} - \frac{1}{a}$ である。

(3)

$C_{1}$ と $x$ 軸との交点は $Q = (c, 0)$ である。直線 $P Q$ の傾きは $\frac{y}{p - c} = \frac{1/ 2 a}{1/ ( 2 a )} = 2 a$ である。

共通接線 $l$ の傾きは $a y = a \cdot \frac{1}{2 a} = \frac{a}{2}$ である。したがって

tan θ = \frac{2 a - a /2}{1 + 2 a a /2} = \frac{a /2}{1 + a}

である。

これが $1/4$ に等しいので $\frac{a}{2 ( 1 + a ) ^{2}} = \frac{1}{16}$ である。整理して $a^{2} - 6 a + 1 = 0$ となり、 $a = 3 \pm 22$ を得る。

ただし $c > 0$ より $lo g (2 a) + 1 < 0$ すなわち $a < \frac{1}{2 e}$ でなければならない。したがって適するのは $a = 3 - 22$ である。

大阪大学 1983年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1983年度
理系数学第4問