問題
とは相異なる実数として，1次変換を考える．
(1) この1次変換による直線の像の直線はどのような方程式で表されるか．
(2) がある値のとき，がと異なるどのような値であっても像の直線はの値に無関係な一定の直線になる．このの値を求めよ．
出典：大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
元の直線を として、変換後の座標 を で表す。 により から を消去できる。(2) は得られた直線が通る点と傾きを見て、傾きが によらない条件を係数比較で求める。
解答
(1)
元の直線上では である。変換後の座標を とすると である。 なので と表せる。
また である。したがって である。
よって、移った直線は で表される。
(2)
(1) の直線は点 を通り、傾きは である。この傾きが によらないためには、ある定数 が存在して がすべての で成り立てばよい。
係数を比較すると である。よって となり、 である。
実際、 のときは となり、 のときは となる。どちらも によらない。
したがって である。