問題
1辺の長さが1の正4面体の内部に互いに外接する2つの球，がある．球は正4面体の4面全部に接し，球は正4面体の3面に接しているとする．
(1) 球の半径を求めよ．
(2) 球の半径を求めよ．
出典：大阪大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
正四面体の高さを底面の重心から求め、内接球 の半径を高さの として出す。球 はある頂点に集まる3面に接すると見て、その中心は対称軸上にある。頂点からの距離を とし、3面までの距離が に比例することと、球 との外接条件で解く。
解答
(1)
正四面体の一つの面を底面とする。底面は1辺の長さが1の正三角形であり、その重心から頂点までの距離は である。したがって正四面体の高さを とすると であり、 である。
正四面体の内心は高さを頂点から に分けるので、内接球 の半径は である。よって である。
(2)
球 は、ある1つの頂点に集まる3つの面に接していると考えてよい。対称性より、球 の中心はその頂点と正四面体の内心を結ぶ直線上にある。
その頂点から球 の中心までの距離を とする。この直線上では、頂点からの距離に比例して3面までの距離が増える。内心は頂点から の位置にあり、その3面までの距離は である。したがって、頂点から距離 の点の3面までの距離は である。これが球 の半径である。
球 と球 は外接するので、中心間距離は半径の和である。よって である。これを解くと となる。したがって球 の半径は である。