大阪大学 1983年度
理系数学 第1問

解答

(1)

与えられた不等式 $\sqrt{n}\leqq \frac{m}{2}<\sqrt{n+1}$ を二乗すると $n\leqq \frac{m^2}{4}<n+1$ である。したがって $0\leqq m^2-4n<4$ を得る。

一方、整数 $m$ について、平方数 $m^2$ を4で割った余りは $0\text{または}1$ である。よって $m^2-4n$ も4で割った余りが $0$ または $1$ である。範囲 $0\leqq m^2-4n<4$ と合わせると $m^2-4n=0\text{または}1$ である。

(2)

$S=\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ とおく。

まず $m^2-4n=0$ のとき、$\sqrt{n}=\frac{m}{2}$ である。また仮定より $\sqrt{n+1}>\frac{m}{2}$ なので $S>m$ である。さらに $\sqrt{n+1}<\frac{m}{2}+1$ だから $S<m+1$ である。

次に $m^2-4n=1$ のとき $n=\frac{m^2-1}{4},n+1=\frac{m^2+3}{4}$ である。すると $S^2=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$ であり、$S^2=\frac{m^2+1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{(m^2-1)(m^2+3)}$ である。

ここで $(m^2-1)(m^2+3)>(m^2-1{)}^2$ だから $S^2>\frac{m^2+1}{2}+\frac{m^2-1}{2}=m^2$ であり、$S>m$ である。

また $\sqrt{n}<\frac{m}{2}$ かつ $\sqrt{n+1}<\frac{m+1}{2}$ なので $S<m+\frac{1}{2}<m+1$ である。

以上より $m<\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<m+1$ が成り立つ。