問題
，を正の整数とする．
(1) をみたす組をすべて求めよ．
(2) を3以上の素数とする．をみたす組のうち，を最小にするを求めよ．
出典：名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(b)
方針
分母を払った後，定数項を補って積の形にする。(1)はに変形し，正の整数条件から正の約数を列挙する。(2)も同様にとし，，を確認してから，を正の約数として扱う。が3以上の素数であることからの正の約数を6個に絞り，を比較して最小を決める。
解答
(1)
の両辺にを掛けると である。これを移項して とし，定数32を加えると である。
元の式では，でなければならないので である。したがって，は32の正の約数である。，とおくと を調べればよい。よって である。
(2)
同様に の両辺にを掛けると である。すなわち であり，を加えて を得る。
元の式より，正の項，はいずれもより小さい。したがって である。そこで とおくと，は正の整数で を満たす。また であるから，を最小にするにはを最小にすればよい。 は3以上の素数なので，の正の約数は である。それぞれに対応するとを比べると
である。 のとき，この中で最小はである。実際，であり， で，残りの，はさらに大きい。したがって のとき最小となる。よって であり，求める組は である。