問題
，とする．点を中心とする半径の円が，双曲線と2点，で接しているとする．ただし，とする．ここで，双曲線と円が点で接するとは，が双曲線と円の共有点であり，かつ点における双曲線の接線と点における円の接線が一致することである．
(1) ，，を，とを用いて表せ．
(2) が正三角形となるとが存在するようなの値の範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
接点で，双曲線と円の接線の傾きを一致させる。双曲線上の条件と接線条件からを先に求め，それを双曲線の式に代入して，円の半径条件からを求める。左右対称性により，であるから，正三角形条件はに等しい。最後は得られた式を整理し，が存在するための必要十分条件をについて読む。
解答
(1)
接点で考える。双曲線 を微分すると であるから，点における接線の傾きは である。
一方，円は中心，半径なので と表せる。これを微分すると より，点における接線の傾きは である。接線が一致するので である。よりを消して となる。したがって である。
または双曲線上にあるから であり， となる。なので である。
さらにであるから である。ここで なので
である。よって である。
(2)
点とは軸に関して対称であり，円の中心も軸上にある。したがって である。よってが正三角形となる条件は である。
(1)の式を代入して両辺を2乗すると である。両辺にを掛けると である。整理して を得る。
右辺は常に正であり，が存在するためには左辺の係数 が正でなければならない。逆になら と定めれば条件を満たすが存在し，そのとき(1)でも定まる。したがって必要十分条件は である。も合わせて である。