名古屋大学 2009年度理系数学第4問(a) 解答・解説

問題

さいころを投げると，1から6までの整数の目が等しい確率で出るとする．さいころを $n$ 回 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ 投げるとき，出る目の積の一の位が $j$ $(j = 0, 1, 2, \dots, 9)$ となる確率を $p_{n} (j)$ とする．

(1) $p_{2} (0)$ ， $p_{2} (1)$ ， $p_{2} (2)$ を求めよ．

(2) $p_{n + 1} (1)$ を， $p_{n} (1)$ と $p_{n} (7)$ を用いて表せ．

(3) $p_{n} (1) + p_{n} (3) + p_{n} (7) + p_{n} (9)$ を求めよ．

(4) $p_{n} (5)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第4問(a)

方針

一の位だけを状態として扱う。(1)は2回の36通りを直接数え，0，1，2になる場合をそれぞれ列挙する。(2)は次の1回で一の位1を作れる前状態と出目の組だけを拾う。(3)は一の位 $1, 3, 7, 9$ を，積が2でも5でも割り切れない場合と言い換える。(4)は一の位5になる条件を「全ての出目が奇数で，少なくとも1回は5が出る」と読み替え，余事象を使って求める。

解答

(1)

2回の出目は順序を区別して36通りである。一の位が0になるには，一方が5，他方が偶数 $2, 4, 6$ であればよい。順序を考えると $2 \cdot 3 = 6$ 通りなので $p_{2} (0) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ である。

一の位が1になるのは $(1, 1)$ だけであるから $p_{2} (1) = \frac{1}{36}$ である。

一の位が2になるものは $(1, 2), (2, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)$ の6通りである。したがって $p_{2} (2) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ である。

(2)

$n$ 回後の一の位に，次の出目を掛けて一の位1になる場合を考える。出目が1なら前の一の位が1，出目が3なら前の一の位が7であればよい。出目2,4,5,6では一の位1は作れない。よって $p_{n + 1} (1) = \frac{1}{6} {p_{n} (1) + p_{n} (7)}$ である。

(3)

積の一の位が $1, 3, 7, 9$ のいずれかであることは，積が10と互いに素であること，すなわち2でも5でも割り切れないことと同じである。1から6までの出目でこの条件を満たすのは $1, 3$ だけである。したがって $n$ 回すべてで1または3が出ることが必要十分条件であり， $p_{n} (1) + p_{n} (3) + p_{n} (7) + p_{n} (9) = (\frac{1}{3})^{n}$ である。

(4)

積の一の位が5になるには，積が5で割り切れ，かつ2では割り切れない必要がある。したがって各回の出目はすべて奇数 $1, 3, 5$ であり，そのうち少なくとも1回は5が出なければならない。

すべての出目が奇数である確率は $(\frac{3}{6})^{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ である。この中で5が一度も出ない場合は，各回の出目が1または3に限られるので，その確率は $(\frac{2}{6})^{n} = (\frac{1}{3})^{n}$ である。よって $p_{n} (5) = (\frac{1}{2})^{n} - (\frac{1}{3})^{n}$ である。

名古屋大学 2009年度理系数学 第4問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2009年度
理系数学第4問(a)