名古屋大学 2009年度理系数学第3問解答・解説

問題

行列 $A = \frac{1}{2} (01 - 1 - 1)$ に対して，座標空間の点 $P_{n}$ の座標 $(a_{n}, b_{n}, c_{n})$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ を， $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (1, 0, 0)$ ， $(a_{n + 1} b_{n + 1}) = A (a_{n} b_{n})$ ， $c_{n + 1} = c_{n} + a_{n} b_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ で定める．

(1) $A^{3}$ を求めよ．

(2) 点 $P_{2}, P_{3}, P_{4}$ の座標を求めよ．

(3) 点 $P_{n}$ の座標を求めよ．

出典：名古屋大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

まず $A^{2}, A^{3}$ を直接計算し， $A^{3} = \frac{1}{8} E$ から $(a_{n}, b_{n})$ が3回ごとに同じ向きで $1/8$ 倍されることを読む。 $P_{2}, P_{3}, P_{4}$ は漸化式を順に適用して求める。一般項では $n$ を $3 k + 1, 3 k + 2, 3 k + 3$ に分けて $(a_{n}, b_{n})$ を表す。 $c_{n}$ は $a_{n} b_{n}$ が正になる $n = 3 j + 3$ の後だけ増え，増加量が等比数列になることを使う。

解答

(1)

A = \frac{1}{2} (01 - 1 - 1)

である。まず

(01 - 1 - 1)^{2} = (- 1 - 1 10)

なので

A^{2} = \frac{1}{4} (- 1 - 1 10)

である。さらに

A^{3} = A^{2} A = \frac{1}{8} (- 1 - 1 10) (01 - 1 - 1) = \frac{1}{8} (1001)

である。

(2)

初期値は $(a_{1}, b_{1}, c_{1}) = (1, 0, 0)$ である。

まず

(a_{2} b_{2}) = A (10) = (0 \frac{1}{2})

であり， $c_{2} = c_{1} + a_{1} b_{1} = 0 + 0 = 0$ である。したがって $P_{2} = (0, \frac{1}{2}, 0)$ である。

次に

(a_{3} b_{3}) = A (0 \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{4} - \frac{1}{4})

であり， $c_{3} = c_{2} + a_{2} b_{2} = 0$ である。よって $P_{3} = (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}, 0)$ である。

さらに

(a_{4} b_{4}) = A (- \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = (\frac{1}{8} 0)

であり， $c_{4} = c_{3} + a_{3} b_{3} = 0 + \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$ である。したがって $P_{4} = (\frac{1}{8}, 0, \frac{1}{4})$ である。

(3)

(1)より $A^{3} = \frac{1}{8} E$ であるから， $(a_{n}, b_{n})$ は3つ進むごとに $1/8$ 倍される。 $k = 0, 1, 2, \dots$ として，(2)の結果から $(a_{3 k + 1}, b_{3 k + 1}) = (\frac{1}{8 ^{k}}, 0),$ $(a_{3 k + 2}, b_{3 k + 2}) = (0, \frac{1}{2 \cdot 8 ^{k}}),$ $(a_{3 k + 3}, b_{3 k + 3}) = (- \frac{1}{4 \cdot 8 ^{k}}, - \frac{1}{4 \cdot 8 ^{k}})$ である。

次に $c_{n}$ を求める。 $c_{n + 1} = c_{n} + a_{n} b_{n}$ であり， $a_{n} b_{n}$ が正になるのは $n = 3 j + 3 (j = 0, 1, 2, \dots)$ のときだけである。このとき

a_{3 j + 3} b_{3 j + 3} = \frac{1}{16 \cdot 8 ^{2 j}} = \frac{1}{4 \cdot 8 ^{j}}

である。したがって， $3 k + 1, 3 k + 2, 3 k + 3$ 番目までは， $j = 0, 1, \dots, k - 1$ の増加分が加わっており，

c_{3 k + 1} = c_{3 k + 2} = c_{3 k + 3} = \frac{1}{4} (1 + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{8 ^{k - 1}}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - ( 1/8 ) ^{k}}{1 - 1/8} = \frac{2}{7} (1 - \frac{1}{8 ^{k}})

である。 $k = 0$ のときは和が空であり，右辺も0になる。

以上より， $k = 0, 1, 2, \dots$ に対して

P_{3 k + 1} = (\frac{1}{8 ^{k}}, 0, \frac{2}{7} (1 - \frac{1}{8 ^{k}}))

P_{3 k + 2} = (0, \frac{1}{2 \cdot 8 ^{k}}, \frac{2}{7} (1 - \frac{1}{8 ^{k}}))

P_{3 k + 3} = (- \frac{1}{4 \cdot 8 ^{k}}, - \frac{1}{4 \cdot 8 ^{k}}, \frac{2}{7} (1 - \frac{1}{8 ^{k}}))

である。

名古屋大学 2009年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2009年度
理系数学第3問