名古屋大学 2009年度理系数学第2問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ と $g (θ)$ を $f (x) = \int_{- 1}^{x} 1 - t^{2} d t$ $(- 1 ≦ x ≦ 1)$ ， $g (θ) = f (cos θ) - f (sin θ)$ $(0 ≦ θ ≦ 2 π)$ で定める．

(1) 導関数 $g^{'} (θ)$ を求めよ．

(2) $g (θ)$ を求めよ．

(3) $y = g (θ)$ のグラフをかけ．

出典：名古屋大学 2009年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

微積分の基本定理から $f^{'} (x) = 1 - x^{2}$ を使い，合成関数として $g (θ)$ を微分する。 $1 - cos^{2} θ = ∣ sin θ ∣$ ， $1 - sin^{2} θ = ∣ cos θ ∣$ となるため， $g^{'}$ は絶対値を含む。 $0, π /2, π, 3 π /2, 2 π$ で $sin θ$ と $cos θ$ の符号が変わるので4区間に分け， $g (0) = π /4$ と連続性で積分定数を決める。グラフは各区間の式，端点の値，極値を明記して描く。

解答

(1)

微積分の基本定理より $f^{'} (x) = 1 - x^{2}$ である。したがって

g^{'} (θ) = f^{'} (cos θ) (- sin θ) - f^{'} (sin θ) cos θ = - sin θ 1 - cos^{2} θ - cos θ 1 - sin^{2} θ

である。ここで

1 - cos^{2} θ = ∣ sin θ ∣, 1 - sin^{2} θ = ∣ cos θ ∣

だから $g^{'} (θ) = - sin θ ∣ sin θ ∣ - cos θ ∣ cos θ ∣$ である。

(2)

まず $g (0) = f (1) - f (0)$ である。 $f (1)$ は半径1の上半円の面積で $π /2$ ， $f (0)$ はその左半分の面積で $π /4$ だから $g (0) = \frac{π}{4}$ である。 $0 ≦ θ ≦ π /2$ では $sin θ ≧ 0$ ， $cos θ ≧ 0$ なので $g^{'} (θ) = - sin^{2} θ - cos^{2} θ = - 1$ である。よって $g (θ) = \frac{π}{4} - θ$ である。 $π /2 ≦ θ ≦ π$ では $sin θ ≧ 0$ ， $cos θ ≦ 0$ なので $g^{'} (θ) = - sin^{2} θ + cos^{2} θ = cos 2 θ$ である。 $g (π /2) = - π /4$ より

g (θ) = - \frac{π}{4} + \int_{π /2}^{θ} cos 2 u d u = - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} sin 2 θ

である。 $π ≦ θ ≦ 3 π /2$ では $sin θ ≦ 0$ ， $cos θ ≦ 0$ なので $g^{'} (θ) = sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ である。 $g (π) = - π /4$ より $g (θ) = θ - \frac{5 π}{4}$ である。 $3 π /2 ≦ θ ≦ 2 π$ では $sin θ ≦ 0$ ， $cos θ ≧ 0$ なので $g^{'} (θ) = sin^{2} θ - cos^{2} θ = - cos 2 θ$ である。 $g (3 π /2) = π /4$ より $g (θ) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} sin 2 θ$ である。

したがって

g (θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π}{4} - θ - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} sin 2 θ θ - \frac{5 π}{4} \frac{π}{4} - \frac{1}{2} sin 2 θ (0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}), (\frac{π}{2} ≦ θ ≦ π), (π ≦ θ ≦ \frac{3 π}{2}), (\frac{3 π}{2} ≦ θ ≦ 2 π)

である。

(3)

グラフを描くための主要な点は

(0, \frac{π}{4}), (\frac{π}{2}, - \frac{π}{4}), (π, - \frac{π}{4}), (\frac{3 π}{2}, \frac{π}{4}), (2 π, \frac{π}{4})

である。 $0 ≦ θ ≦ π /2$ では傾き $- 1$ の直線， $π ≦ θ ≦ 3 π /2$ では傾き $1$ の直線である。 $π /2 ≦ θ ≦ π$ では $g (θ) = - \frac{π}{4} + \frac{1}{2} sin 2 θ$ であり， $θ = 3 π /4$ で $- \frac{π}{4} - \frac{1}{2}$ を最小値としてとる。 $3 π /2 ≦ θ ≦ 2 π$ では $g (θ) = \frac{π}{4} - \frac{1}{2} sin 2 θ$ であり， $θ = 7 π /4$ で $\frac{π}{4} + \frac{1}{2}$ を最大値としてとる。これらの点と各区間の式を滑らかにつなげばよい。

名古屋大学 2009年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2009年度
理系数学第2問