問題
袋の中に赤玉と白玉がそれぞれ4つ入っていることと，袋の中に赤玉3つと白玉2つが入っていることが分かっている．
(1) 袋から2つの玉を取り出すとき，取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．
(2) 袋から3つの玉を取り出し，そのあと袋から2つの玉を取り出す．その5つの玉のうち赤玉が3つである確率を求めよ．
(3) 袋から3つの玉を取り出したあとで，2つの玉を袋から取り出すかあるいは2つの玉を袋から取り出すかのどちらかを選択できるとする．できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき，最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．
方針
(1)は袋 の赤玉割合を使って期待値を出す。(2)は袋 から3個取ったときの赤玉数 の分布と，袋 から2個取ったときの赤玉数の分布を別々に求め，和が3になる組み合わせを足す。(3)は最初に袋 から取れた赤玉数 ごとに，残った袋 からさらに2個取る期待値 と袋 の期待値 を比較し，選択後の総期待値を条件付きで平均する。
解答
(1)
袋 には5個中3個の赤玉がある。2個取り出すとき，それぞれの取り出し位置について赤玉である確率は である。したがって赤玉の個数の期待値は である。
(2)
袋 から3個取り出したときの赤玉の個数を とする。袋 には赤玉4個，白玉4個があるので，
である。
また，袋 から2個取り出すとき，赤玉が0個，1個，2個である確率はそれぞれ
である。
5個の玉のうち赤玉が3個になるのは， の場合である。したがって求める確率は
(3)
袋 から最初に3個取り出したときの赤玉の個数を とする。このとき袋 には赤玉が 個，白玉が 個，合計5個残っている。したがって，残った袋 からさらに2個取り出すときの赤玉の期待値は である。一方，袋 から2個取り出すときの赤玉の期待値は(1)より である。
よって追加で取る2個については， を選べばよい。
(2)で求めた分布より
である。各場合の最終的な赤玉個数の期待値は，すでに得た 個に，選んだ袋からの期待値を加えて である。したがって求める期待値は