問題
曲線上の点，点 をとる．
点，から軸に下ろした2本の垂線と軸および曲線で囲まれた部分の面積をとする．
点，から軸に下ろした2本の垂線と軸および曲線で囲まれた部分の面積をとする．
このとき，となるようにがとれるの値の範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第3問
方針
縦方向の面積 は として表す。横方向の面積 は曲線を と見て， から まで 方向に積分する。等式 は ， に変形される。あとは から， のときだけ右側に を取れることを示す。
解答
面積 は， から まで曲線 と 軸に挟まれた部分の面積である。したがって
一方， は横方向に見る。曲線 は と表せるので， から までの高さで， 軸から曲線までの横幅を積分すればよい。よって
条件 は であり，整理すると である。
ここで とおく。すると であるから， は で減少し， で増加する。また で最小値をとる。 のとき， は減少部分にあり， である。一方， では は連続に増加し， を大きくすると もいくらでも大きくなる。したがって にただ1つ が存在して となる。この は を満たすので，条件に合う。 のとき， は最小値である。 なら であり，増加性から となるので不可能である。 のとき， はともに より大きい。 はこの範囲で増加するため， なら となり，やはり不可能である。
問題では であるから，求める の範囲は である。