名古屋大学 2008年度
理系数学 第2問

解答

(1)

三角形の面積比だけが問題なので，座標を $A(0,0),B(1,0),C(0,1)$ とおく。このとき，$P$ は辺 $AC$ を $s:1-s$ に内分するから $P(0,s)$ であり，$Q$ は辺 $BC$ を $t:1-t$ に内分するから $Q(1-t,t)$ である。

点 $R$ は直線 $AQ$ 上にあるので，ある数 $\lambda$ を用いて $R=\lambda Q=(\lambda (1-t),\lambda t)$ と表せる。また $R$ は直線 $BP$ 上にもあるので，ある数 $\mu$ を用いて $R=(1-\mu )B+\mu P=(1-\mu ,\mu s)$ と表せる。したがって $\lambda (1-t)=1-\mu ,\lambda t=\mu s$ である。第2式から $\mu =\lambda t/s$ として第1式に代入すると $\lambda (1-t)=1-\frac{\lambda t}{s}$ であり，$\lambda \{s(1-t)+t\}=s$ となる。よって $\lambda =\frac{s}{s+t-st}$ であり，$R\left(\frac{s(1-t)}{s+t-st},\frac{st}{s+t-st}\right)$ である。

次に面積を求める。$AP$ は $y$ 軸上の長さ $s$ の線分であるから，$R$ から直線 $AP$ までの距離は $R$ の $x$ 座標である。したがって

また $BQ$ の長さと高さを直接座標で計算してもよいが，三角形 $BQR$ について同じく行列式で面積を出すと $[BQR]=\frac{t^2(1-s)}{2(s+t-st)}$ となる。例えば

を用いて，行列式の絶対値を取れば上式が得られる。

条件 $[APR]=2[BQR]$ より，分母は正なので $s^2(1-t)=2t^2(1-s)$ である。これを $s$ について整理すると $(1-t)s^2+2t^{2}s-2t^2=0$ である。解の公式より

内分点なので $0<s<1$ であり，正の枝を選ぶ。したがって $s=\frac{t\{\sqrt{t^2-2t+2}-t\}}{1-t}$ である。

(2)

(1)の式から $\frac{s}{t}=\frac{\sqrt{t^2-2t+2}-t}{1-t}$ である。したがって ${\lim }_{t\to +0}\frac{s}{t}=\frac{\sqrt{2}-0}{1}=\sqrt{2}$ である。

別解。(2)だけなら，明示式を使わずに面積条件 $s^2(1-t)=2t^2(1-s)$ から直接求められる。$t\to +0$ で $0<s<1$ だから，この式より $s^2(1-t)\leqq 2t^2$ となり，$s\to 0$ である。両辺を $t^2$ で割ると ${\left(\frac{s}{t}\right)}^2(1-t)=2(1-s)$ である。極限を $L={\lim }_{t\to +0}s/t$ とおけば，正の量の極限なので $L^2=2$ となり，$L=\sqrt{2}$ を得る。