名古屋大学 2008年度
理系数学 第4問(a)
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 整数、場合の数
- 解法
- 数え上げ、場合分け、計算整理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 16〜20分
問題
次の問に答えよ．
(1) 3x+2y≦2008を満たす0以上の整数の組(x,y)の個数を求めよ．
(2) 2x+3y+6z≦10を満たす0以上の整数の組(x,y,z)の個数を求めよ．
出典：名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
(1)は x を固定して y の個数を数え，x の偶奇で床関数を外す。(2)は不等式を 3x+2y+z≦60 に直し，x,y を固定したときの z の個数 61−3x−2y を足す。ここでも x の偶奇で y の上限が変わるため，x=2j，x=2j+1 に分け，内側の等差数列の和を整理する。
解答
(1)
x を固定すると 0≦y≦22008−3x であり，0≦x≦669 である。 x=2j (0≦j≦334) のとき，0≦y≦1004−3j なので，y の個数は 1005−3j である。 x=2j+1 (0≦j≦334) のとき，0≦y≦1002−3j なので，y の個数は 1003−3j である。
したがって求める個数は
j=0∑334(1005−3j)+j=0∑334(1003−3j)=168840+168170=337010
である。
(2)
与えられた不等式に6を掛けると 3x+2y+z≦60 となる。x,y を固定すると，z は 0≦z≦60−3x−2y を満たすので，その個数は 61−3x−2y である。ただし 3x+2y≦60 が必要である。
まず x=2j とおく。0≦j≦10 であり，0≦y≦30−3j である。このときの個数の和は
y=0∑30−3j(61−6j−2y)=(31−3j)(61−6j)−2⋅2(30−3j)(31−3j)=(31−3j){61−6j−(30−3j)}=(31−3j)2.
次に x=2j+1 とおく。0≦j≦9 であり，0≦y≦28−3j である。このときの個数の和は
y=0∑28−3j(58−6j−2y)=(29−3j)(58−6j)−2⋅2(28−3j)(29−3j)=(29−3j){58−6j−(28−3j)}=(29−3j)(30−3j).
よって求める個数は ∑j=010(31−3j)2+∑j=09(29−3j)(30−3j) である。順に計算すると ∑j=010(31−3j)2=4301, ∑j=09(29−3j)(30−3j)=2805 なので，合計は 4301+2805=7106 である。
