名古屋大学 2007年度理系数学第4問(b) 解答・解説

問題

袋の中に赤と黄と青の玉が1個ずつ入っている．「この袋から玉を1個取り出して戻し，出た玉を同じ色の玉を袋の中に1個追加する」という操作を $N$ 回繰り返した後，赤の玉が袋の中に $m$ 個ある確率を $p_{N} (m)$ とする．

(1) 連比 $p_{3} (1) : p_{3} (2) : p_{3} (3) : p_{3} (4)$ を求めよ．

(2) 一般の $N$ に対し $p_{N} (m)$ $(1 ≦ m ≦ N + 1)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第4問(b)

方針

赤玉の個数だけに注目し，黄と青は「赤でない玉」としてまとめて扱う。 $N$ 回後の全体の玉数は $N + 3$ 個なので，次の操作後に赤玉が $m$ 個になる確率は，直前に赤玉 $m$ 個で赤以外を引く場合と，直前に赤玉 $m - 1$ 個で赤を引く場合の和で表される。2色の場合と異なり，赤以外の初期個数が2個あるため分布は一様ではなく $p_{N} (m) = 2 (N - m + 2) / ((N + 1) (N + 2))$ になる。帰納法で示し，別解として赤が出る回数 $m - 1$ の順序列を数えて同じ式を確認する。

解答

(1)

3回後に赤玉が $m$ 個であることは，3回の操作のうち赤が $m - 1$ 回出ることと同じである。直接計算してもよいが，(2)で示す公式を $N = 3$ に用いると

p_{3} (m) = \frac{2 ( 3 - m + 2 )}{( 3 + 1 ) ( 3 + 2 )} = \frac{5 - m}{10} (1 ≦ m ≦ 4)

である。したがって

p_{3} (1) : p_{3} (2) : p_{3} (3) : p_{3} (4) = \frac{4}{10} : \frac{3}{10} : \frac{2}{10} : \frac{1}{10} = 4 : 3 : 2 : 1

である。

(2)

$N$ 回後には全体の玉数は $N + 3$ 個である。次の操作後に赤玉が $m$ 個であるためには，次の2通りがある。

直前に赤玉が $m$ 個で，赤以外の玉を引く場合。このとき赤以外の玉は $N + 3 - m$ 個あるので，寄与は $\frac{N + 3 - m}{N + 3} p_{N} (m)$ である。

直前に赤玉が $m - 1$ 個で，赤玉を引く場合。この寄与は $\frac{m - 1}{N + 3} p_{N} (m - 1)$ である。したがって $p_{N + 1} (m) = \frac{N + 3 - m}{N + 3} p_{N} (m) + \frac{m - 1}{N + 3} p_{N} (m - 1)$ が成り立つ。範囲外の確率は $0$ とみなす。

ここで $p_{N} (m) = \frac{2 ( N - m + 2 )}{( N + 1 ) ( N + 2 )} (1 ≦ m ≦ N + 1)$ と仮定する。これを漸化式に代入すると

p_{N + 1} (m) = \frac{N + 3 - m}{N + 3} \cdot \frac{2 ( N - m + 2 )}{( N + 1 ) ( N + 2 )} + \frac{m - 1}{N + 3} \cdot \frac{2 ( N - ( m - 1 ) + 2 )}{( N + 1 ) ( N + 2 )} = \frac{2}{( N + 3 ) ( N + 1 ) ( N + 2 )} {(N + 3 - m) (N + 2 - m) + (m - 1) (N + 3 - m)} = \frac{2 ( N + 3 - m )}{( N + 3 ) ( N + 1 ) ( N + 2 )} {N + 2 - m + m - 1} = \frac{2 ( N + 3 - m )}{( N + 2 ) ( N + 3 )}

である。これは $N + 1$ 回後の式 $\frac{2 (( N + 1 ) - m + 2 )}{( N + 2 ) ( N + 3 )}$ に一致する。

初期値 $N = 1$ では，1回後に赤玉が $1$ 個である確率は $2/3$ ，赤玉が $2$ 個である確率は $1/3$ であり， $\frac{2 ( 1 - m + 2 )}{2 \cdot 3}$ に一致する。したがって数学的帰納法により $p_{N} (m) = \frac{2 ( N - m + 2 )}{( N + 1 ) ( N + 2 )} (1 ≦ m ≦ N + 1)$ である。

別解。 $N$ 回のうち赤が $k = m - 1$ 回出るとする。赤以外を1つの種類としてまとめると，赤は初め1個，赤以外は初め2個である。赤が $k$ 回，赤以外が $N - k$ 回出る順序を1つ固定すると，その確率は $\frac{k ! ( N - k + 1 )!}{3 \cdot 4 \dots ( N + 2 )}$ であり，同じ $k$ なら順序によらない。順序の数は $_{N} C_{k}$ 個だから

_{N} C_{k} \frac{k ! ( N - k + 1 )!}{3 \cdot 4 \dots ( N + 2 )} = \frac{2 ( N - k + 1 )}{( N + 1 ) ( N + 2 )}

である。 $k = m - 1$ とすれば $p_{N} (m) = \frac{2 ( N - m + 2 )}{( N + 1 ) ( N + 2 )}$ を得る。

名古屋大学 2007年度理系数学 第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

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理系数学第4問(b)