問題
2行2列の行列を考える．が実数でである行列を上三角行列という．また，とおく．
(1) をみたす上三角行列をすべて求めよ．
(2) をみたす上三角行列をすべて求めよ．
(3) 上三角行列がをみたすとき，となることを示せ．
出典：名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
上三角行列 の累乗を成分で調べる。対角成分は になるので，まず実数条件から の候補を絞る。右上成分は，(1)では ，(2)では ，(3)では になる。 では に限られ，同符号なら右上成分から ，異符号なら なので が従う。
解答
とおく。
(1)
直接計算すると
である。したがって となる条件は である。 のときは なので であり， である。 のときも なので であり， である。 の符号が異なるときは なので は任意でよい。
よって求める行列は
である。ただし後ろ2つでは は任意の実数である。
(2)
とする。対角成分から である。 は実数なので である。
このとき
であり，
である。 より ，すなわち である。したがって だけである。
(3)
とする。対角成分から である。 は実数だから，それぞれ である。 のとき，右上成分は なので ，すなわち である。したがって であり， である。 のとき，右上成分は なので である。したがって であり，やはり である。
残りは と の符号が異なる場合である。このとき であるから
である。
以上より，上三角行列 が をみたすなら，必ず である。