名古屋大学 2007年度理系数学第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ $(a_{n} > 0)$ を次の規則によって定める：

a_{1} = 1; \int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} \frac{d x}{3 x} = 1 (n = 1, 2, 3, \dots) .

曲線 $y = \frac{1}{3 x}$ と， $x$ 軸および2直線 $x = a_{n}$ ， $x = a_{n + 1}$ で囲まれた図形を $x$ 軸の周りに1回転させた回転体の体積を $V_{n}$ とする．このとき $n \to \infty lim n V_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

積分条件から $a_{n}^{2/3}$ が等差数列になることを最初に見抜く。具体的には $\int x^{- 1/3} d x = \frac{3}{2} x^{2/3}$ なので， $a_{n + 1}^{2/3} - a_{n}^{2/3} = 2/3$ となる。回転体の体積は $π \int y^{2} d x = π \int x^{- 2/3} d x$ であり， $a_{n}^{1/3}$ の差に帰着する。 $a_{n}^{1/3} = (2 n + 1) /3$ と表した後，平方根の差を有理化して $n V_{n}$ の極限を取る。

解答

与えられた条件より $\int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} x^{- 1/3} d x = 1$ である。左辺を計算すると

\int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} x^{- 1/3} d x = [\frac{3}{2} x^{2/3}]_{a_{n}}^{a_{n + 1}} = \frac{3}{2} (a_{n + 1}^{2/3} - a_{n}^{2/3})

である。したがって $a_{n + 1}^{2/3} - a_{n}^{2/3} = \frac{2}{3}$ である。

また $a_{1} = 1$ なので $a_{1}^{2/3} = 1$ である。よって $a_{n}^{2/3}$ は初項 $1$ ，公差 $2/3$ の等差数列であり， $a_{n}^{2/3} = 1 + \frac{2 ( n - 1 )}{3} = \frac{2 n + 1}{3}$ である。したがって $a_{n}^{1/3} = \frac{2 n + 1}{3}$ である。

次に回転体の体積を求める。曲線は $y = x^{- 1/3}$ であるから， $x$ 軸のまわりに回転してできる体積は

V_{n} = π \int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} y^{2} d x = π \int_{a_{n}}^{a_{n + 1}} x^{- 2/3} d x = 3 π (a_{n + 1}^{1/3} - a_{n}^{1/3})

である。上の式を代入すると $V_{n} = 3 π (\frac{2 n + 3}{3} - \frac{2 n + 1}{3})$ である。

平方根の差を有理化して

V_{n} = 3 π \cdot \frac{\frac{2 n + 3}{3} - \frac{2 n + 1}{3}}{\frac{2 n + 3}{3} + \frac{2 n + 1}{3}} = \frac{2 π}{\frac{2 n + 3}{3} + \frac{2 n + 1}{3}}

である。したがって

n V_{n} = \frac{2 π n}{\frac{2 n + 3}{3} + \frac{2 n + 1}{3}}

であり，分母を $n$ で割ると

n V_{n} = \frac{2 π}{\frac{2 + 3/ n}{3} + \frac{2 + 1/ n}{3}}

となる。よって

n \to \infty lim n V_{n} = \frac{2 π}{2 2/3} = π \frac{3}{2}

である。

名古屋大学 2007年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

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理系数学第3問