問題
原点を中心とする半径1の円に，円外の点から2本の接線を引く．
(1) 2つの接点の中点をとするとき，点の座標を点の座標を用いて表せ．またであることを示せ．
(2) 点が直線上を動くとき，点の軌跡を求めよ．
出典：名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
単位円への接線を座標で扱う。接点 における単位円の接線は であり，その接線が を通るので，接点は直線 上にある。2接点を結ぶ弦の中点 は，原点からこの直線へ下ろした垂線の足であるため， と出る。(2)はこの関係を逆にして と表し， が 上にある条件を代入する。得られる円では原点だけ有限の に対応しないので除く。
解答
(1)
単位円 上の点 における接線は である。これが点 を通るための条件は である。したがって，2つの接点はともに直線 上にある。
この直線は2接点を結ぶ弦であり，その中点 は原点からこの直線に下ろした垂線の足である。直線 の法線ベクトルは だから，垂線の足は である。よって である。
また であり，
である。したがって である。
(2)
とおく。(1)の関係は であるから，逆に と表せる。ただし である。
点 が直線 上にある条件は すなわち である。平方完成すると
だから である。
この円は原点を通るが，原点は上の逆変換で有限の点 に対応しない。したがって求める軌跡は で表される円から，原点 を除いたものである。