問題
(1) 関数のグラフをかけ．
(2) 方程式 (は実数) が相異なる3つの実数解を持つとする．をのみを用いて表せ．
(3) が(2)の条件のもとで変化するときの動く範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
(1)は から増減と極値を調べ，さらに で 軸との交点を押さえる。(2)では が3つの相異なる実数解をもつ条件が であることを使い，3解 に解と係数の関係を適用する。 の平均 と半差 を置くと で，， から を だけで表せる。(3)は 上で二次式の範囲を調べる。
解答
(1)
について である。したがって， は で増加， で減少， で増加する。
また なので， で極大値 ， で極小値 をとる。さらに であるから， 軸との交点は である。ただし では重解なので，グラフは 軸に接する。これらを用いてグラフを描く。
(2)
(1)の増減より，方程式 が相異なる3つの実数解をもつのは のときである。このとき3解を とする。
方程式 は である。解と係数の関係より
である。
ここで とおく。このとき である。第1式から なので である。また であり，， だから である。よって であり，
である。 なので である。
(3)
のとき，中央の解 は と の間を動く。実際， は で から まで単調に減少するので，任意の に対してただ1つの が対応する。
(2)より である。 だから，この値は最大値 を でとり，端点では に近づくが，端点 は含まれない。したがって であり， より である。