名古屋大学 2005年度理系数学第4問(b) 解答・解説

問題

(1) 連続関数 $f (x)$ が，すべての実数 $x$ について $f (π - x) = f (x)$ をみたすとき， $\int_{0}^{π} (x - \frac{π}{2}) f (x) d x = 0$ がなりたつことを証明せよ．

(2) $\int_{0}^{π} \frac{x sin ^{3} x}{4 - cos ^{2} x}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2005年度前期日程第2次学力試験理系第4問(b)

方針

(1)は積分値を $I$ と置き， $u = π - x$ と変数変換すると， $f (π - u) = f (u)$ により積分が $- I$ になることを示す。(2)では $g (x) = sin^{3} x / (4 - cos^{2} x)$ が $g (π - x) = g (x)$ を満たすので，(1)を使って $x$ を平均値 $π /2$ に置き換える。残る $\int_{0}^{π} g (x) d x$ は $u = cos x$ とおき，偶関数の有理式積分に直す。

解答

(1)

$I = \int_{0}^{π} (x - \frac{π}{2}) f (x) d x$ とおく。 $u = π - x$ と変数変換すると， $d x = - d u$ であり， $x = 0$ のとき $u = π$ ， $x = π$ のとき $u = 0$ である。したがって

I = \int_{π}^{0} (π - u - \frac{π}{2}) f (π - u) (- d u) = \int_{0}^{π} (\frac{π}{2} - u) f (u) d u = - \int_{0}^{π} (u - \frac{π}{2}) f (u) d u = - I

である。よって $I = 0$ である。

(2)

$g (x) = \frac{s i n ^{3} x}{4 - c o s ^{2} x}$ とおく。 $sin (π - x) = sin x$ ， $cos (π - x) = - cos x$ より $g (π - x) = g (x)$ である。したがって(1)を $f (x) = g (x)$ に適用すると $\int_{0}^{π} (x - \frac{π}{2}) g (x) d x = 0$ である。よって $\int_{0}^{π} xg (x) d x = \frac{π}{2} \int_{0}^{π} g (x) d x$ である。

あとは $J = \int_{0}^{π} \frac{s i n ^{3} x}{4 - c o s ^{2} x} d x$ を求めればよい。 $u = cos x$ とおくと $d u = - sin x d x$ であり， $sin^{2} x = 1 - cos^{2} x = 1 - u^{2}$ だから

J = \int_{1}^{- 1} \frac{( 1 - u ^{2} ) ( - d u )}{4 - u ^{2}} = \int_{- 1}^{1} \frac{1 - u ^{2}}{4 - u ^{2}} d u

である。ここで $\frac{1 - u ^{2}}{4 - u ^{2}} = 1 - \frac{3}{4 - u ^{2}}$ なので $J = \int_{- 1}^{1} 1 d u - 3 \int_{- 1}^{1} \frac{d u}{4 - u ^{2}}$ である。

また $\int \frac{d u}{4 - u ^{2}} = \frac{1}{4} lo g \frac{2 + u}{2 - u} + C$ であるから

\int_{- 1}^{1} \frac{d u}{4 - u ^{2}} = [\frac{1}{4} lo g \frac{2 + u}{2 - u}]_{- 1}^{1} = \frac{1}{4} {lo g 3 - lo g (1/3)} = \frac{1}{2} lo g 3

である。したがって $J = 2 - \frac{3}{2} lo g 3$ である。

求める積分は

\frac{π}{2} J = \frac{π}{2} (2 - \frac{3}{2} lo g 3) = π - \frac{3 π}{4} lo g 3

である。

名古屋大学 2005年度理系数学 第4問(b)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2005年度
理系数学第4問(b)